Question

已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B

。（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求三角形FAB的面积 详解 过程 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

(1)抛物线准线是x=-p/2  所以p=2

y²=4x

设A(x1，y1)  B(x2，y2)  中点为(x，y)

那么y1+y2=2y

y1²=4x1

y2²=4x2

两式相减

得到(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)

于是得到直线的斜率

k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=2/y

另外一方面直线过点(-1，0)，斜率为

k=y/(x+1)=2/y

于是得到AB中点的轨迹方程是

y²=2(x+1)

题中给出了中点在直线x=7上

那么y=±4

也就是中点坐标为(7,±4)

直线的方程有两个

x-2y+1=0或者x+2y+1=0

(2)

作A，B两点到准线的垂线  垂足为M,N

根据抛物线的定义

AF=AM=x1+1   BF=BN=x2+1

而PA=AB

所以BN=2AM   BF=2AF

PN=2PM

也就是x2+1=2(x1+1)①和y2=2y1

y1²=4x1

y2²=4x2

推出x2/x1=y2²/y1²=4

代入①得到

x1=1/2  x2=2

y1=±√2  y2=±2√2

A(1/2,√2) B(2,2√2)或者(1/2,-√2) B(2,-2√2)

直线方程就是

2√2x±3y+2√2=0

F(1，0)到它的距离就是

h=4√2/√(8+9)=4√2/√17；

另外AB=1/2PB=√17/2

那么S=1/2AB*h=√2