求助:一道高中导数题。特别是第二问。
已知曲线C:y=4ax3+x,过点Q(0,-1)作C的切线l,切点为P(1)求证:不论a怎样变化,点P总在一条定直线上(2)若a>0,过点P且与l垂直的直线与x轴的交于点...
已知曲线C:y=4ax3+x,过点Q(0,-1)作C的切线l,切点为P
(1)求证:不论a怎样变化,点P总在一条定直线上
(2)若a>0,过点P且与l垂直的直线与x轴的交于点T,求OT的最小值(O为坐标原点) 展开
(1)求证:不论a怎样变化,点P总在一条定直线上
(2)若a>0,过点P且与l垂直的直线与x轴的交于点T,求OT的最小值(O为坐标原点) 展开
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(1)y‘=12ax²+1
切点设为p(x0,4ax0³+x0);
y0=4ax0³+x0
过此点的切线方程就是
y=(12ax0²+1)(x-x0)+4ax0³+x0=(12ax0²+1)x-8ax0³
由于过点(0,1)
带入得到
8ax0³=1
也就是2(y0-x0)=1
2y0-2x0-1=0
也就是不管a怎么变,p点肯定在直线2x-2y+1=0上面
(2)
上面已经讨论了y0=x0+1/2
垂直那么斜率就是-1/(12ax0²+1)
直线方程也就是y=-1/(12ax0²+1)(x-x0)+x0+1/2
令其=0得到
x=(12ax0²+1)×(x0+1/2)+x0
=12ax0³+6ax0²+2x0+1/2
8ax0³=1
上面=6ax0²+2x0+2
=3/(4x0)+2x0+2≥√6/2+2
此时x0=√6/4 y0=√6/4+1/2 a=2√6/9
所以最小值是√6/2+2
切点设为p(x0,4ax0³+x0);
y0=4ax0³+x0
过此点的切线方程就是
y=(12ax0²+1)(x-x0)+4ax0³+x0=(12ax0²+1)x-8ax0³
由于过点(0,1)
带入得到
8ax0³=1
也就是2(y0-x0)=1
2y0-2x0-1=0
也就是不管a怎么变,p点肯定在直线2x-2y+1=0上面
(2)
上面已经讨论了y0=x0+1/2
垂直那么斜率就是-1/(12ax0²+1)
直线方程也就是y=-1/(12ax0²+1)(x-x0)+x0+1/2
令其=0得到
x=(12ax0²+1)×(x0+1/2)+x0
=12ax0³+6ax0²+2x0+1/2
8ax0³=1
上面=6ax0²+2x0+2
=3/(4x0)+2x0+2≥√6/2+2
此时x0=√6/4 y0=√6/4+1/2 a=2√6/9
所以最小值是√6/2+2
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