Question

极限的问题

若f（n）、g（n）分别是关于n的一元多项式，f（n）=apn^p+a(p-1)n^(p-1)+……+a1n+a0，g（n）=bqn^q+b(q-1)n^(q-1)+……+b1n+b0,p、q分别为f（n）、g（n）的次数，ap、bq分别为最高此项系数，且g（n）≠0，则有lim（n→∞）=f（n）/g（n）=0（p＜q），ap/bq（p=q），不存在（p＞q）

主要解释一下“lim（n→∞）=f（n）/g（n）=0（p＜q），ap/bq（p=q），不存在（p＞q）”是怎么得到的，不要说感觉出来的......

Answer 1

知道洛必达法则吧
无论怎么样
n→∞时...只要f(n)中存在n 那么f(n)趋向无穷大p>1
同理g(n)也是
所以只要存在n就能用洛必达法则
当p＜q时
运用一定次数的洛必达法则后(求导)
f(n)中首先不存在n(即不能再使用洛必达法则了) 此时f(n)=ap *p! 为一个常数(这里的f(n)为求导后的结果,下面同理),,,ap为最高次项系数) !为阶乘
g(n)还存在n 此时g(n)
所以lim（n→∞）=f（n）/g（n）=0
当p=q时
运用一定次数洛必达法则后(求导)
f(n)和g(n)同时没有n
f (n)=ap *p! 为一个常数
g (n)=bq *q! =bq* p!
所以lim（n→∞）=f（n）/g（n）=ap/bq
一样的
p>q时
g(n)首先没有了n 分母为常数
而分子为无穷大
所以lim（n→∞）=f（n）/g（n）=∞　　所以说不存在(极限是一个数,而不能是无穷大的)

Answer 2

这个问题不需要L'Hospital法则，最好直接看
如果p<=q，f(n)/g(n) = [f(n)/n^q] / [g(n)/n^q]
如果p>q，f(n)/g(n) = [f(n)/n^p] / [g(n)/n^p]
总而言之就是把分子和分母都写成关于x=1/n的多项式，利用x->0就行了