Question

已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1,g(x)=x+ e^2/x(x>0)

1.若g（x）=m有实根，求m的范围
2.确定m的取值范围，使得g（x）- f（x）=0有两个相异实根

Answer 1

要使g(x)=f(x)有两个相异实根.只需f(x)max>g(x)min
即e²+m-1>2e.解得m>-e²+2e+1

[1]函数F(x)=g(x)-m有零点⟺g(x)=m有零点,只要m在g(x)的值域内，就可以有零点。
g(x)=x+ ≥2e(利用均值不等式)
当且仅当x= ,即x=e时取等号。
∴g(x)的值域是[2e,+∞）
∴m∈[2e,+∞）

[2]g(x)-f(x)=0,g(x)=f(x)
大致可以画出g(x)的图像，x=e时，g(x) =2e,(0,e)上g(x)是减函数，（e，+∞）上g(x)是增函数；
而x=e又是f(x)的对称轴，f(x)开口向下，那么要求f(x)的最大值大于g(x）的最小值，图形才有可能有两个交点。
f(x) =f(e)=m-1+e²
m-1+e²＞2e
m>1-e²+2e

Answer 2

[1]g(x)=m有零点,只要m在g(x)的值域内，就可以有零点。
g(x)=x+(e^2)/x≥2√x(e^2)/x=2e
当且仅当x=（e^2)/x,x=e时取等号。
g(x)的值域是[2e,+∞）
m∈[2e,+∞）

[2]g(x)-f(x)=0,g(x)=f(x)
大致可以画出g(x)的图像，x=e时，g(x)min=2e,(0,e)上g(x)是减函数，（e，+∞）上g(x)是增函数；
而x=e又是f(x)的对称轴，f(x)开口向下，那么要求f(x)的最大值大于g(x）的最小值，图形才有可能有两个交点。
f(x)max=f(e)=m-1+e²
m-1+e²＞2e
m>1-e²+2e

Answer 3

解：(1)g(x)=x+ e^2/x=m，x^2-mx+e^2=0，要使方程有实根，必须b^2-4ac≥0，
m^2-4*e^2≥0，(m+2e)(m-2e)≥0，m≤-2e或m≥2e。
(2)g(x)-f(x)=0，x+ e^2/x+x^2-2ex-m+1=0，
x^3+(1-2e)x^2+(1-m)x+e^2=0， 因方程有两个相异实根，所以△=0,
p=(3ac-b^2)/(3a^2)=[3(1-m)-(1-2e)^2]/3=(2-3m+4e-4e^2)/3
q=(2b^3-9abc+27a^2d)/(27a^3)=[2(1-2e)^3-9(1-2e)(1-m)+27e^2]/27
=(2-12e+24e^2+16e^3-9+18e+9m-18em+27e^2)/27
=(16e^3+51e^2+6e-18em+9m-7)/27
△=q^2/4+p^3/27=0,
太复杂

Answer 4

1）因为g(x)=x+e^2/x>=2e,取等号时，有x=e.
所以若g(x)=m有零点，所以必有m>=2e.
(2)我们注意到函数f(x)=-x^2+2ex+m-1
=-(x-e)^2+e^2+m-1
在x=e取得最大值e^2+m-1.
而函数g(x)=x+e^2/x(x>0)在x=e处取得最小值。
所以要使g(x)-f(x)=0两个相异的实根，则函数f(x)的最高应高于g(x)的最低点。
于是我们就可以得到e^2+m-1>2e,于是有m>2e+1-e^2
综上所述有m>=2e

Answer 5

和sorry杨亚威的答案一样