Question

请详解一下这道高中数学题

请详解一下这道高中数学题，谢谢！
第（1）小题中 为什么分a²-1=0和a²-1≠0进行讨论
为什么若a²-1≠0则a²-1＞0且Δ≤0，而没有a²-1＜0
第（2）小题中 为什么kx²+2kx+1≠0恒成立 必须有Δ＜0
谢谢！

Answer 1

第一小题的函数中根号下的多项式里二次项前的系数是代数式而不是确定的实数，所以有三种可能，第一是该式子是个二次多项式，也就是a²-1≠0；第二是该式子不是二次多项式，而是一次式，即a²-1=0且a-1≠0；第三是该函数是个常函数，即a²-1=0且a-1=0。若该式子是个二次多项式，则一定要保证该二次多项式恒为非负，将这个二次多项式看做x的二次函数，那么二次函数恒为非负值等价于这个二次函数对应的方程没有实数根，且该二次函数的图像开口向上，因此有a²-1≠0则a²-1＞0且Δ≤0的结论。反过来想，如果a²-1<0，那么要么该二次函数在某个区间而非R上为正，要么该二次函数根本没有值为正的情况，这两种情况都不符合题意。题目的答案给出的分析是不严密的。
第二题，分式有意义的条件是分母不为0，对于本题来说，由于定义域是R，所以对于任意的x，分母kx²+2kx+1均不能为0。仍然分情况讨论，当分母是二次多项式时，k≠0，二次多项式恒不为0，要求其对应的方程没有解，即kx²+2kx+1=0没有实数根，意思就是没有x使得这个式子等于0，所以Δ＜0。当这个式子不是二次多项式时，k=0，此时分母就是1，这个函数就成了多项式函数，定义域是R，所以k=1是取值集合中的一个。
楼主需要理解一下二次函数与二次方程、二次多项式、类二次多项式间的关系了。

Answer 2

打字打起有点麻烦哈，不过觉得你是个好学生哦，我也是学生，题不会做很难受的，嘿嘿。。
我的理解是：
第（1）小题中 为什么分a²-1=0和a²-1≠0进行讨论
a²-1=0时 a=正负1 （a²-1）x²=0
所以a-1也=o
这样的话、这道题就变成根号下 一个一次函数啦、a只有一个值

a²-1≠0时，这道题就是二次函数，a就有两个值。

为什么若a²-1≠0则a²-1＞0且Δ≤0，而没有a²-1＜0
因为a²是一个正数，a²-1≠0的话，a²一定就大于1 ，所以a²-1＞0，a²-1是二次项的系数，
二次项的系数大于0，Δ就≤0，这是一个定律，，记住就行啦。、

kx²+2kx+1≠0恒成立 则Δ＜0也是个定律 因为 kx²+2kx+1≠0就说明这是个二次函数，二次函数的解有两个，所以Δ必须＜0 为什么不能是一次函数呢，因为二次函数的话、kx²就要为0，k若为0了，式子就变成1≠0了，就算不出x了。

不知道我说清楚没，嘿嘿嘿。

Answer 3

嗯，我表示图写得很清楚了。。。
（1）因为一次和二次的讨论时不一样的；而是二次的话，那为了根式大于等于零，那么结合二次函数的图像看，因为要x为R，这个二次函数的y值就得大于或等于零，那么开口要向上（向下不就有小于0的y值了么？所以不行，二次项的系数也就要大于0），为了不和x轴交两个点，只能交一个或不交，判别式就得小等于零，要不也会有小于零的y值。
（2）还是结合二次图形看，此题主要看分母，Δ>=0,说明二次函数和x轴有交点，就是说有等于0的y值，题目说的是x属于R，就是说不能让分母没意义，既然Δ>=0不对，Δ＜0是必然的。
总的来说，就是要把二次函数的几何和代数意义结合起来。记住Δ的作用，二次系数的作用。
不懂在Hi我~

Answer 4

这个要跟二次函数有联系
① f（x）=根号下的那个式子 可以将根号里的式子 看成一个函数ax^2+bx+c 这个函数要大于等于0所以要讨论a是否等于0 是否是二次函数 再根据函数与图像的关系求解
就是要讨论a^2-1是否等于0
② 还是二次函数与图像的关系 k>0 图像开口向上，kx²+2kx+1≠0 就是图像与x轴无交点，就是判别式小于零