Question

高二数学椭圆问题

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2，且椭圆经过点N（2，-3）
(1)求椭圆方程。(2)求椭圆C以M(-1,2)为中点的弦所在的直线。

Answer 1

(1)已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2，且椭圆经过点N（2，-3）
所以
c/a=1/2
4/a^2+9/b^2=1
a^2=b^2+c^2
解得
a^2=16,b^2=12,c^2=4
a=4,b=2√3,c=2
所以
椭圆方程为x^2/16+y^2/12=1
(2)设以M(-1,2)为中点的弦所在的直线方程为
y-2=k(x+1)
y=kx+k+2
与椭圆的交点为(x1,y1)(x2,y2),则
x1+x2=-2,y1+y2=4
y1=kx1+k+2
y2=kx2+k+2
相加得
y1+y2=k(x1+x2)+2k+4
把y=kx+k+2代入x^2/16+y^2/12=1化简得
(3+4k^2)x^2+8k(k+2)x+4(k+2)^2-48=0
x1+x2=-8k(k+2)/(3+4k^2)=-2
解得
k=3/8
所以
直线方程为y=kx+k+2=3/8x+3/8+2
即y=3/8x+19/8

Answer 2

（1）由e=c/a=1/2得：b^2/a^2=3/4---①
椭圆C经过点N(2，-3)，得：4/a^2+9/b^2=1---②
①②联立得：a^2=16，b^2=12，c^2=4
所以椭圆方程为：x^2/16+y^2/12=1
（2）点差法得直线方程为：3x-8y+19=0

Answer 3

1
e=1/2=c/a
b^2=a^2-c^2=3a^2/4
过N(2,-3)
4/a^2+9/(3a^2/4)=1
(4+12)=a^2
16=a^2
b^2=12
x^2/16+y^2/12=1

2
y-2=k(x+1)
12x^2+16[k(x+1)+2]^2=192
(12+16k^2)x^2+(32k^2+64k)x+16k^2+64-192=0
x1+x2= -(32k^2+64k)/(12+16k^2)
(x1+x2)/2=(16k^2+32k)/(12+16k^2)=1
16k^2+32k=12+16k^2
32k=12
k=3/8
y-2=(3/8)(x+1)