Question

已知a,b是正实数，且a+b=1,试求1/a+9/b的最小值，并求出当它渠道最小值的充要条件。 请解释得详细点。

Answer 1

【巧用a+b=1】
1/a+9/b=[1/a+9/b]*(a+b)=1+9+(b/a)+(9a/b)
又因为(b/a)+(9a/b)≧2√(b/a)*(9a/b)=2×3=6
所以1/a+9/b有最小值1/a+9/b=10+6=16
此时(b/a)+(9a/b)=6，化简得b(b-3a)=0 (a,b均为正实数)，即b=3a.
所以当且仅当b=3a时，1/a+9/b有最小值16

Answer 2

简单的方法，因为a+b=1,(1/a+9/b)*1即等价于(1/a+9/b)*(a+b)=1+b/a+9a/b+9,即等于10+b/a+9a/b然后就可以用均值不等式了，b/a+9a/b大于等于6，所以最小值是10+6=16，然后令等式两边相等得b=3a,充要条件就是b=3a.够简单详细了吧！！！！

Answer 3

f(x,y)=1/a+9/b+m(a+b-1)
f`a=-1/a²+m=0
f`b=-9/b²+m=0
1/a²=9/b²
b=3a
a+b=1
a+3a=1
a=1/4
b=3/4
1/a+9/b的最小值=4+12=16
充要条件b=3a