Question

点P（8,1）平分双曲线x^2-4y^2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是多少

Answer 1

用中点弦。
设该弦与双曲线的两交点分别为A（x1,y1),B(x2,y2).
将两点分别代入方程有：x1^2-4y1^2=4, x2^2-4y2^2=4,
两式相减得：(x1^2-x2^2)-4(y1^2-y2^2)=0,
利用平方差：(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,
x1+x2=16， y1+y2=2
代入得：16(x1-x2)-8(y1-y2)=0,
(y1-y2)/(x1-x2)=2
即直线的斜率k=2.
利用直线的点斜式写出直线方程：
Y-1=2(x-8)
2x-y-15=0.

Answer 2

点差法
设弦与双曲线两个交点为A(x1.y1)和B(x2.y2).则代入方程得
(x1)方/4-y1方=1
(x2)方/4-y2方=1
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)/4=(y1+y2)(y1-y2)
又因P(8.1)为弦中点,故x1+x2=16.y1+y2=2
代入得k=(y1-y2)/(x1-x2)=2.所以由点斜式得弦方程为2x-y-15=0

Answer 3

可以用“点差法”进行计算。
化简双曲线的方程：x²/4-y²=1
设这条直线与双曲线的交点分别为(x1,y1) (x2,y2)
这条线的中点是(8,1)
所以根据中点坐标公式可以得到
x1+x2=16
y1+y2=2
再把这两点分别代入双曲线内得到
(x1)²/4-(y1)²=1 ---①
(x2)²/4-(y2)²=1 ---②
用①式减②式，
可以求出(y1-y2)/(x1-x2)=2
(y1-y2)/(x1-x2)正好是这条直线的斜率
所以k=2
y=2x+b
∴b=-15
所以直线方程为
y=2x-15