Question

若关于x的方程x^2+ax+2b=0一个根0<x1<1,另一根1<x2<2,则(b-2)/(a-1)的范围

Answer 1

若x^2+ax+2b=0的其根是0<x1<1和1<x2<2，

那么f(0)和f(2)将大于0，f(1)将小于0。

从f(0)>0可得b>0，

从f(1)<0可得a+2b+1<0，

从f(2)>0可得a+b+2>0。

其3个不等公式可以图来形容，参阅插图。

如图所示，可满足3个不等公式的a值和b值被包括在黑色区域。

从黑色区域中，a的范围是-3<a<-1，b的范围是0<b<1。

欲获得(b-2)/(a-1)的最小值，

b-2的值必须最小，即b-2=-1当b=1。

同时a-1的值必须最大，即a-1=-4当a=-3。

那么，(b-2)/(a-1)的最小值是1/4。

欲获得(b-2)/(a-1)的最大值，

b-2的值必须最大，即b-2=-2当b=0。

同时a-1的值必须最小，即a-1=-2当a=-1。

那么，(b-2)/(a-1)的最大值是1。

结论，(b-2)/(a-1)的范围是1/4<(b-2)/(a-1)<1。

Answer 2

delta=a^2-8b>0
f(0)=2b>0--->b>0
f(1)=1+a+2b<0--> a+2b<-1
f(2)=4+2a+2b>0--> a+b>-2
因此有b>0, -2-a<b<-0.5-0.5a
点（a,b)为由（-2，0），（-1，0），（-3，1）组成的三角形内
0<b<1, -3<a<-1
(b-2)/(a-1)的最大值为b=0, a=-1时，为1
最小值为b=1, a=-3时， 为1/4
因此其范围是(1/4, 1)