Question

线性代数中常用的公式r(A)+r(B)≤n 何时取等号（AB=0）

A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，如果AB=0，则r(A)+r(B)≤n，其中等号是什么情况下取？

我知道这个≤是因为B可以由Ax=0的基础解系表示，所以B的秩≤基础解系的个数，而基础解析个数是n-r（A），得r（B）≤n-r（A）。

然后我想取等号的时候应该就是B的秩=基础解系的个数，但是进而说明什么问题，我有点想不太明白了。求懂得彻底明白的前辈指点

Answer 1

你说的对, 取等号的时候应该就是B的秩=基础解系的个数

这意味着 B 的列向量组 与 AX=0的一个基础解系等价

也可以这样说, B的列向量中包含 AX=0 的解空间的一个基, 其余列向量是AX=0的解就可以了

Answer 2

正如你说的，等号成立时，B的秩=基础解系的个数，那么B的列向量组与基础解系向量组等价。