Question

急求解！一道高一数学有关对数函数的综合题

已知函数f(x)满足f(logaX)=a(x-1/x)/(a^2-1)(a>0,a≠1）
（1）对于函数f(x),当x∈（-1，1）时，f(1-m)+f(1-m^2)<0,求实数m的取值范围
（2）当x∈（-∞，2）时，f(x)-4的值恒为负数，求实数a的取值范围
注意：不要用有关导数之类的知识解答，高一还没有学过
不要复制的，也不要用“求导”啊，我真没学过

Answer 1

解：
（1）、令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,1/x=x^(-1)=a^(-t),带入得
f(logaX)=f(t)=a*[a^t-a^(-t)]/(a^2-1)，函数的表达式与字母无关，将t换成x，表达式的实质不变。得到函数表达式 f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1),x∈R。
为了考察 x∈（-1，1）时，f(1-m)+f(1-m^2)<0,需要考察f(x)在x∈(-1,1)区间的函数特性如奇偶性，单调性。
令x=-x,带入得f(-x)=a*[a^(-x)-a^(x)]/(a^2-1)=-a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)=-f(x)，所以f(x)是奇函数。
然后看单调性；因为 f(-x)=-f(x), 函数的图像是关于原点为对称的！
再看 f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)的图像，在a>1时 a^x图像是单调增函数，a^(-x)是单调减函数，f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)是单调增函数；在0<a<1时 a^x图像是单调减函数，a^(-x)是单调增函数，又因为 a^2-1<0，故 f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)是单调增函数。
函数f(x),在x∈（-1，1）时的图像是单调的增函数（对应于a>1或0<a<1）、并且是关于原点为点对称的图像。
f(1-m)+f(1-m^2)<0，
f(1-m)<-f(1-m^2)=f(m^2-1)，
即 f(1-m)<f(m^2-1)，
因为-1<x<1,
-1＜1-m＜1,
且-1＜m^2-1＜1，
由 -1＜1-m＜1,得 -1＜m-1＜1，0<m<2,
由 -1＜m^2-1＜1，得 0<m^2<2, 0<m<√2, 或 -√2<m<0;
0<m<2 和 0<m<√2 或 -√2<m<0的公共解是：0<m<√2。
在此情况下，满足 f(1-m)<f(m^2-1) 的m 值：
当a>1时，f(x)是增函数，1-m<m^2-1，m^2+m-2>0,
(m+2)(m-1)>0, m<-2 或 m>1,
与0<m<√2 的交集是：1<m<√2,
当0<a<1，f(x)也是增函数， f(1-m)<f(m^2-1) ，1-m<m^2-1，m^2+m-2>0,
(m+2)(m-1)>0, m<-2 或 m>1,
与0<m<√2 的交集是 1<m<√2 .
结论：当0<a<1且a≠1时，1<m<√2。

（2）当x∈（-∞，2）时，f(x)-4的值恒为负数，求实数a的取值范围。
如上，有 f(x)=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1),x∈R。
当x∈（-∞，2）时，f(x)-4=a*[a^x-a^(-x)]/(a^2-1)-4 <0,
当0<a且a≠1时，a^2-1>0, 且f(x)是增函数，在区间（-∞，2）上恒成立f(x)＜4。这时f(x)取x趋近于2时的最大值小于4即可满足。
f(x)增函数，令x取最大值2，代入方程得f(2)，
让f(x)<f(2)=a*[a^2-a^(-2)]/(a^2-1)＜4,
解这个不等式，
a^2-a^(-2),通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),
[a^2+1]＜4a,
a^2-4a+1<0,
解得2-√3＜a＜2+√3,
然后与0<a且a≠1取交集，
得：0<a<2-√3，或 1<a<2+√3。

Answer 2

您是不是漏掉了几个问什么的。要不然，这道题，一般人都不知道往哪方面去想。
（1）。令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,带入得f(t)=a*(a^t-a^-t)/(a^2-1),将t换成x，得到表达式f(x)=a*(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R。
然后考察它的奇偶性，单调性。
令x=-x,带入得f(-x)=a*(a^-x-a^x)/(a^2-1),它恰好等于-f(x).所以是奇函数。
然后看单调性。求导，f`(x)=a/(a^2-1)*(a^x*㏑a+a^-x*lna)=a/(a^2-1)*lna*(a^x+a^-x),讨论当0＜a＜1,导数大于0，a＞1,还是大于0.所以函数是增函数。然后再来解第一问。
去掉f的办法是移向，利用奇偶性，单调性去掉符号。
首先注意定义域，这里是（-1，1），所以得有-1＜1-m＜1,且-1＜1-m^＜1.
然后移向，f(1-m)＜-f(1-m^2)=f(m^2-1).又因为是增函数，所以1-m＜m^2-1.解这三个关于m的范围，取交集，即得解：（如果没解错的话，应该是）0＜m＜1.
(2).f(x)-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，即f(x)＜4恒成立。即f(x)的最大值小于4即可。f(x)增函数，令x=2带入方程，得a*(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.(注意，其实这里的x=2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况。要注意）解这个不等式……a^2-a^-2,通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,然后与a＞0且a≠1取交集，得（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。

Answer 3

（1）。令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,带入得f(t)=a*(a^t-a^-t)/(a^2-1),将t换成x，得到表达式f(x)=a*(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R。
然后考察它的奇偶性，单调性。
令x=-x,带入得f(-x)=a*(a^-x-a^x)/(a^2-1),它恰好等于-f(x).所以是奇函数。
然后看单调性。求导，f`(x)=a/(a^2-1)*(a^x*㏑a+a^-x*lna)=a/(a^2-1)*lna*(a^x+a^-x),讨论当0＜a＜1,导数大于0，a＞1,还是大于0.所以函数是增函数。然后再来解第一问。
去掉f的办法是移向，利用奇偶性，单调性去掉符号。
首先注意定义域，这里是（-1，1），所以得有-1＜1-m＜1,且-1＜1-m^＜1.
然后移向，f(1-m)＜-f(1-m^2)=f(m^2-1).又因为是增函数，所以1-m＜m^2-1.解这三个关于m的范围，取交集，即得解：（如果没解错的话，应该是）0＜m＜1.
(2).f(x)-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，即f(x)＜4恒成立。即f(x)的最大值小于4即可。f(x)增函数，令x=2带入方程，得a*(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.(注意，其实这里的x=2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况。要注意）解这个不等式……a^2-a^-2,通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,然后与a＞0且a≠1取交集，得（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。