Question

求二阶偏导数，高等数学问题，请详细解释

已知əz/əx=əz/əu+əz/əv 求ə²z/əxəu
我已经知道结果是ə²zəu/əu²əx+ə²zəv/əuəvəx但是不知道结果具体是怎么算出来的，求高手解释
əz/əx=əz/əu+əz/əv但是书上ə²z/əx²=(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx) +(ə²z/əvəu)*(əu/əx)+(ə²z/əv²)*(əv/əx) 你说的只是结果的一半啊？(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx)应该是ə（əz/əu）/əx的结果，但是为什么呢

Answer 1

首先一件事是ə²zəu/əu²əx+ə²zəv/əuəvəx这么写是不对的，而且没有数学意义。应该是
(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx)
你写成ə²zəu/əu²əx+ə²zəv/əuəvəx说明你对偏导的表达形式还不是很理解。
其次，(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx)并不是ə²z/əxəu的结果，而是ə²z/əx²的结果。
ə²z/əxəu的结果应该是 ə²z/əu²+ə²z/əuəv
ə²z/əxəu=ə(əz/əx)/əu，也就是函数əz/əx关于变量u再求一次偏导，也就是əz/əu+əz/əv 关于变量u再求一次偏导，所以结果就是ə²z/əu²+ə²z/əuəv
而求解ə²z/əx²用到的是求导的链式法则，把u，v都看作是以x为其一个自变量的函数，这样u,v
就是中间变量，而x作为最终变量来看，对x求偏导要先关于u，v求偏导，再各自乘以u和v关于x的偏导，然后两项相加。这样得到的就是(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx)

追问

能不能再看一下补充的，太长了，不能在追问里发，呵呵，大哥教一下啊

追答

你追问里说的是正确的，能理解成这样就说明你懂了。很抱歉，这个编辑器字太难打了，一混乱就漏了一部分。

追问

那是是照书上抄的，关于(ə²z/əu²)*(əu/əx)+(ə²z/əuəv)*(əv/əx)我还是不大懂啊，就是ə（əz/əu）/əx本来没有əv在后面一项怎么出现əv了啊

追答

ə（əz/əu）/əx是把əz/əu看做函数关于变量x求导，但是这个求导不能直接进行，而是需要通过中间变量u和v来过渡，因为əz/əu在这种题目假设下就是一个以u和v为直接变量的函数，要看做x的函数就要通过与u和v复合来过渡。对əz/əu求导时也只能用链式法则先对u、v求导，然后再对x求导。

追问

是不是这个函数的形式就应该是z=f[u(x,y),v(x,y)]啊

追答

这是一种情形，u,v可以是x,y的函数，也可能是更多自变量的函数，比如u(x,y,s,t),v(x,y,s,t)，不过这就不重要了关键是x和u,v的关系。

追问

十分感谢，我最近在复习高数，希望能加QQ，方便以后有问题请教啊，谢谢哦

追答

不客气，368021759

Answer 2

我也想回答，但是那个偏导符号不会打

Answer 3

没给出函数结构怎么行呢，frankjia1986解释的很好，还费了很多时间，应该把分给他！