Question

数学中的换底公式的推导

要过程

Answer 1

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
　　则
　　log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
　　根据 对数的基本公式
　　log(a）(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
　　易得
　　log(n^x)(n^y)=y/x
　　由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
　　则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

Answer 2

换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

Answer 3

这个问题你只要知道，对于一个对数中真数和底数，我们可以用任意一个正数的x次幂来表示。比如a=c^x, b=c^x'（a为真数 b为底数）; 然后代入公式即可证明。