Question

如图，已知AD为△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，BD=AD，FD=CD，求证：BE⊥AC

Answer 1

证明：因为AD⊥BC

所以∠ADB＝∠ADC＝90度

在直角三角形FDB和直角三角形CDA中

BD＝AD

∠ADB＝∠ADC＝90度

FD＝CD

所以三角形FDB ≌ 三角形ADC（SAS）

所以∠DAC＝∠DBF

因为∠DBF＝∠AFE，∠DBF+∠DBF=90度

所以 ∠AFE+∠FAE＝90度

即∠BEA＝90度

所以BE⊥AC

不明白可以追问

Answer 2

1）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定义）；

Answer 3

因为BD=AD FD=CD AD为△ABC的高
所以△BDF≌△ADC
所以∠BFD=∠C
因为∠BFD=∠AFE
所以△AFE∽△ACD
所以BE⊥AC