Question

高中数学(函数)

定义在(0，正无穷)上的函数f(x),对于任意实数m,n属于(0，正无穷)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0 证明f(x)在(0，正无穷)上是减函数

Answer 1

设m>1,n>0,则mn>n>0,f(m)〈0
因为 f(mn)=f(m)+f(n)<f(n)
即 f(mn)<f(n)
所以 f(x)在(0，正无穷)上是减函数

Answer 2

任取x1>x2>0
f(x1)=f[(x1/x2)*x2]=f(x1/x2)+f(x2)
所以f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0，所以为减函数

Answer 3

易知f(1)=0，因为当x>1时，f(x)<0，设x=ab，a>1，b>1，则f（x)=f(a)+f(b)<f(a).则在（1，正无穷)f(x)是减函数。当x<1时，设x=de，d>1，e<1，则x>e，f（x)=f(d)+f(e)<f(e).证毕。

Answer 4

解：