Question

5、[x]表示不大于x的最大整数，则方程 ×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是 ．

Answer 1

[x^2+x]=19+99/x为整数
因此x需为99的因数,因此为整数
[x^2+x]=x^2+x=19+99/x
x^3+x^2-19x-99=0
此方程没有整数根。

是不是题写错了？为[x^2＋x]＝19x＋99吧？
这样的话： x^2+x-1<19x+99<=x^2+x
x^2-18x-99>=0--> x>=22.416 or x<=-4.416, x^2+x>=19x+99
x^2-18x-100<0---> -4.453<x<22.453
因此 22.416=<x<22.453 or -4.453<x<=-4.416
524.89<x^2+x<526.59 or 15.376<x^2+x<15.085
19x+99=524, 525, 526, 15
x=425/19, 426/19, 427/19, -84/19
再代入验算：其中只有两个解：x=426/19 ，-84/19

追问

答案不对呀。

追答

题目是不是有写错呀？上面的答案验算正确的呀。

Answer 2

[x^2＋x]=38x＋198
38x＋198≤x^2＋x＜38x＋198+1=38x＋199
(37＋√2161)/2≤x＜(37＋√2165)/2且(37-√2165)/2＜x≤(37-√2161)/2

41.74≤x＜41.75或-4.75＜x≤-4.74

[x1]=41,[x2]=-5

设x1=[x1]+a=41+a,0≤a＜1
x2=[x2]+b=-5+b,0≤b＜1，

1.当x=[x]+a=41+a,0≤a＜1时,
x^2＋x=41^2+82a+41+a^2+a=41^2+83a+41+a^2
[x^2＋x]=[41^2+83a+41+a^2]
=41^2+41+[83a+a^2]
=38*41+38a＋198
[83a+a^2]=38a＋34
设a=m/38,m∈Z，0＜m＜38

38a＋34≤83a+a^2＜38a＋34+1=38a＋35
34≤a^2+45a＜35
a^2+45a-34≥0且a^2+45a-35＜0

(-45-√2165)/2＜a＜(-45+√2165)/2且
a≥(-45+√2161)/2

(-45+√2161)/2≤a＜(-45+√2165)/2

1.486/2≤m/38＜1.529/2
28.23≤m＜29.06
m=29,
a=29/38
x=41+29/38=1587/38；

2.当x=[x]+b=-5+b,0≤b＜1时，
x^2＋x=5^2-10b+b^2-5+b=b^2-9b+20
[x^2＋x]=[b^2-9b+20]
=20+[b^2-9b]
=38(-5)+38b＋198
[b^2-9b]=38b-12

设b=n/38,n∈Z，0＜n＜38
38b-12≤b^2-9b＜38b-12+1=38b-11
-12≤b^2-47b＜-11

(47-√2165)/2＜b＜(47+√2165)/2且b≥(47+√2161)/2或b≤(47-√2161)/2

(47-√2165)/2＜b≤(47-√2161)/2或
(47+√2161)/2≤b＜(47+√2165)/2

0.47/2＜b≤0.514/2或
(47+46.487)/2≤b＜(47+46.529)/2(因b＜舍去)

0.47/2＜n/38≤0.514/2
8.93＜n≤9.766
n=9
b=n/38=9/38
x=-5+9/38=-181/38,

综上所述x1=1587/38,x2=-181/38。