Question

流体由于具有粘滞性，使得在流体中运动的物体都要受到流体阻力，

一般情况下。半径为R的小球以速度为v运动时他受到的流体阻力为f=6π ηRv来表示
密度为ρ，半径为R的小球在密度为ρ。 粘滞带系数为η的液体中，由静止开始下落，请推导出速度V(r)的数学表达式

Answer 1

小球下落过程中受到流体的浮力F，阻力f和自身重力G，三力合力提供加速度，三力平衡时速度为v。
p0<p时，F=p0g*4πR³/3，G=pg*4πR³/3，小球下沉，随着速度的增大，阻力f增大，当f增大到三力平衡时小球匀速下沉，此时速度v=f/6π ηR，
f+F=G,得f=G-F=（p-p0）g*4πR³/3
所以v=（p-p0）g*4πR³/18π ηR=2（p-p0）g*R²/9 η

p0>p时，小球上浮，v=2（p0-p）g*R²/9 η

Answer 2

mg-6πηRv=v'
初始条件：v(0)=0
解得：v(t)=gm(1-e^(-6πηRt))/(6πηR)

Answer 3

解：球所受重力为ρgv球=4/3πρgR^3，所受浮力为ρ。gv球=4/3πρ。gR^3，两者合力向下，大小为4/3π（ρ-ρ。）gR^3，此外还受粘滞力，大小为6π ηRvt，由牛二定律F合=4/3π（ρ-ρ。）gR^3-6π ηRv=ma=mdv/dt，整理得dt/m=dv/[4/3π（ρ-ρ。）gR^3-6π ηRv]，积分并整理得
vt=[2（ρ-ρ。）gR^2/9η]（1-e^-6π ηRt）。

Answer 4

因为6πηRv+4/3×πRˆ3gρ。=4/3×πRˆ3gρ
所以推出v=(2Rˆ2g(ρ-ρ。))/(9η)

Answer 5

v=2（p0-p）g*R²/9 η