Question

机械能守恒和动量守恒有什么关系

Answer 1

机械能守恒定律与动量守恒定律的比较及应用
湖南省祁东县育贤中学　张安国
高中物理力学中涉及两个守恒定律，即动量守恒定律和机械能守恒定律，掌握这两个守恒定律，对物理概念和物理规律的理解能更进一步。这两个定律表示的是机械运动不同本质的规律，有相似和相异之处。

一、相似之处

1．两个定律都是用“守恒量”来表示自然界的变化规律，研究对象均为物体系，运用“守恒量”表示物体系运动状态的变化规律是物理研究的重要方法。

2．两个守恒定律均是在一定条件下才能成立，他们都是用运动的初、末两个状态的守恒量相等来表示物体系的规律特征，因此他们的表达式是相似的，并且均有多种形式。

3．运用守恒定律解题要注意其整体性（不是其中一个物体）、相对性（表达式中的速度和其他有关物理量必须对应同一个参考系）、同时性（物体系内各物体的动量和机械能都是对应同一时刻的）、阶段性（满足条件的各个过程的始末量均守恒）。列方程时，只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑中间过程细节。

4．两个定律都可用实验验证，用理论论证。动量守恒定律是将动量定理应用于相互作用的物体，在不受外力的条件下可推导出来；机械能守恒定律是将动能定理应用于物体系（物体和地球组成系统），在只有重力做功的条件下可推导出来。

二、相异之处

1．守恒量不同。动量守恒定律的守恒量是动量，机械能守恒定律的守恒量是机械能。因此他们所表征的守恒规律是有本质区别的。动量守恒时，机械能可能守恒，也可能不守恒，反之亦然。

2．守恒条件不同。动量守恒定律的适用条件是系统不受外力（或系统在某一方向不受外力）；或系统所受的合外力为零；或系统所受的合外力远小于系统的内力。机械能守恒定律适用的条件是只有重力做功；或只有重力做功，其他力不做功；或虽除重力的功外，还有其他力做功，但这些力做功的代数和为零。

3．表达式不同。动量守恒定律的表达式是一个矢量式，不论是，还是，或者均是矢量式。对于在同一直线上运动的物体系，只要规定正方向，动量守恒定律可表示为标量式；对于不在同一直线上运动的物体，可进行正交分解后，列出两个标量式表示动量守恒。在高中阶段，动量守恒定律的应用只限于一维的情况。机械守恒定律的表达式为标量式，一般可表示为，或者，或者（将系统分成a，b两部分来研究）。

例1　下列关于机械能守恒的说法中，正确的是

A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒

B．做匀变速直线运动的物体机械能不可能守恒

C．如果物体不受摩擦力和介质阻力的作用，其机械能一定守恒

D．如果物体只发生动能和势能相互转换，其机械能一定守恒

分析与解　本题是单纯判断四种情形下物体的机械能是否守恒，这要求我们能正确把握机械能守恒的条件。机械能是否守恒，取决于是否有重力以外的力做功，很明显，从A，B，C三个选项中，我们并不能肯定除重力外其他力的做功情况，也就不能肯定在这三种情形下物体的机械能是否守恒，故不能选择选项A，B，C。若物体只发生动能和势能的相互转换，很显然物体的机械能是守恒的，故应选择选项D。

点评　判断物体的机械能是否守恒，关键要抓住守恒的条件，不能仅凭物体做什么运动，或不受什么力来判断。

例2　在质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为m0，小车（和摆球一起）以恒定的速度V沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞（如图1所示），碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列可能发生的情况是

A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足

B．摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为v1，v2，满足

C．摆球的速度不变，小车和木块的速度均变为v，满足

D．小车和摆球的速度均变为v1，木块的速度变为v2，满足

分析与解　本题的四个选项是单纯涉及动量守恒定律的问题，本题的关键词是小车“沿光滑水平面运动”，木块也置于光滑水平面上，所以系统在水平方向不受外力，碰撞前后系统的动量守恒。另一个关键词是“碰撞时间极短”，因此，小车和木块碰撞时，小车和木块间的作用力只能使小车和木块的动量发生变化，而不能使摆球的动量发生变化。因此，列方程时，只需列出小车与木块动量守恒的表达式，考虑到小车和木块碰撞后可能分离，故有；也可能粘合运动，则有。故应选择选项B，C。

讨论　如将本题改为：在质量为M的小车中挂有一个单摆，摆球的质量为m0，摆球偏离竖直位置θ角，小车和单摆一起以恒定的速度V沿光滑水平地面运动，然后释放摆球，与静止放在车厢内摆线悬挂点正下方的质量为m的木块发生正撞（如图2所示），且碰撞时间极短，那么在摆球和木块碰撞前的瞬间，如设摆球相对于地面的速度为v，小车相对于地面速度为v’则对系统能否列出？为什么？若摆球和木块碰撞后，摆球和木块分离，他们相对地面的速度分别为v1，v2，则对系统能否列出？

显然，摆球在从静止开始摆动至和木块碰撞前的瞬间，系统在水平方向上动量守恒，且木块和车厢相对静止，他们的速度相同，故有.碰撞过程中，因时间极短，车厢速度不可能改变。因此，有，或者。

点评　原题的四个选项均满足动量守恒，但是要对这个物理现象做出正确判断，还需综合考虑题设条件及各种因素，不能用一种情况掩盖另一种情况，条件不同，结论就不同，原题不考虑摆球的动量变化，后面的题不考虑小车的动量变化，均因情境相异所致。

例3　冲击摆的装置是一个用细线悬挂着的砂箱，其质量为从一粒质量为m的弹丸以水平速度v击中砂箱，弹丸陷入箱内，使砂箱摆至某一高度，设最大偏角为θ（如图3所示）。利用这个装置便可测出弹丸的速度。试描述其物理过程并列出弹丸速度的表达式。（设摆长为L）

分析与解　用冲击摆测弹丸的速度涉及动量守恒和机械能守恒。

弹丸射入砂箱的过程中，由于时间极短，砂箱无明显的位移，所以，该过程中系统（弹丸和沙箱）在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，由动量守恒定律，得

弹丸射入砂箱后，一起向右摆动，线的拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒。由机械能守恒定律，得

由上述两式，可得

点评　动量守恒和机械能守恒并不是在整个运动过程中都体现。在弹丸射入砂箱的瞬间，系统的动量守恒，但由于弹丸要克服砂的阻力做功，系统的机械能不守恒；在箱与弹丸摆动的过程中，机械能守恒，但外力（摆线的拉力和重力）的冲量不为零，系统的动量不守恒，这是本题求解时得到的启示。另外，分析物理过程中系统的动量是否守恒、机械能是否守恒，关键在于此过程是否满足动量守恒和机械能守恒的条件，有时还需将总过程分为若干分过程。

例4　如图4所示，质量为M，内壁光滑的半圆槽放在光滑的水平面上，其左侧紧靠台阶，槽的半径为R。今从槽左侧A点的正上方D点自由释放一个质量为m的小球，球恰从A点进入槽的内壁轨道。为使小球沿槽的内壁恰好运动到右端B点，试求D点至A点的高度。

分析与解设D点至A点的高度为h，则小球从D点处开始运动至B端的过程可分为三个阶段：

第一阶段小球从D点自由下落至A点，只有重力做功，机械能守恒，得；

第二阶段小球从A点运动到半圆槽的最低点O1。由于受台阶的作用，半圆槽仍保持静止，仅重力做功，机械能守恒，可得；

第三阶段小球从O1点运动至B点，到达B点时小球和槽有共同的速度vB，对槽和小球系统而言，只有重力做功，可得；

在此阶段，系统在水平方向不受外力，水平方向上动量守恒，故有。

联立以上四式解得。

点评　根据动量守恒和机械能守恒的条件分析运动过程是解题的切入点也是落脚点。分析是否满足守恒条件，要定性分析运动过程，若用守恒定律列方程，仅用到运动过程的始、末两个状态。

2005-09-09 原载《中学物理教学参考》2005．7