Question

已知函数f（x）=（x^2+c）/（ax+b）为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤fx≤3/2的解集是[-2,-1]∪[2,4]

(1）求a、b、c的值;
（2）是否存在实数m，使不等式f(-2+sinθ)<-m＾2+3/2对一切θ∈R都成立?若成立，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
请详细解答！！！

Answer 1

(1)∵已知f（x）=（x²+c）/（ax+b）为奇函数
∴由f（-x）= -f（x）可得（x²+c）/（ax+b）= -（x²+c）/（-ax+b）
∴b = 0
∴f（x）=（x²+c）/ ax ①
∵f（1）＜f（3）
∴（1+c）/ a ＜（9+c）/ 3a ②
∵f（x）为奇函数且0≤f（x）≤3/2的解集是[-2，-1]∪[2，4]
∴存在f（-2）=f（2）
即 （4+c）/ 2a =（4+c）/ -2a
解得 c = -4
代入①式，f（x）=（x² - 4）/ ax
代入②式，可解得 a ＞ 0
∴f（x）=（x² - 4）/ ax 在[-2，-1]∪[2，4]上为增函数
当x =-1或 4时，有最大值且最大值为3/2
代入f（x）=（x² - 4）/ ax 解得 a = 2
∴a = 2，b = 0，c = -4
(2)-1≤ sinθ≤1，-3≤ -2+sinθ≤-1.
函数f(x)=( x²-4)/(2x)=1/2*(x-4/x),
显然函数x-4/x在[-3,-1]上是增函数，
f(-2+sinθ)的最大值是f(-1)=3/2,
若f(-2+sinθ)<-m＾2+3/2对一切θ∈R都成立,
则3/2<-m＾2+3/2，
则m^2<0，这是不可能的。
所以不存在实数m。