Question

高中数学圆锥曲线

已知F1，F2是两个定点，点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，并且PF1垂直于PF2，e1和e2分别是椭圆与双曲线的离心率，则有（ ）
A. 1/e1^2+1/e2^2=4 B. 1/e1^2+1/e2^2=2
C.e1^2+e2^2=4 D.e1^2+e2^2=2
我们老师当时讲了种简便方法，证明了角PF2F1是30°，我想知道如何证明的？
不是，也可能PF1F2是30°，看点取在哪儿了，验证一下真的是对的……

Answer 1

1/e1=(PF1+PF2)/F1F2
1/e2=(PF1-Pf2)/F1F2

(1/e1)^2+(1/e2)^2=[(PF1+PF2)^2+(PF1-PF2)^2]/F1F2^2
=2(PF1^2+PF2^2)/F1F2^2
=2

B

PF2F1=30°???? NO!!!!!!!1

追问

可是验证了是对的啊……

追答

你可任作直角三角形ABC，以AB为焦点，让椭圆和双曲线都过C。

从离心率的选项B中，也可看出，这样的直角三角形不是固定形状的。

追问

可是椭圆和双曲线不是共焦点么，又是直角三角形，为什么还不是固定的咧……

追答

为了说服你，我给你举个例子。
椭圆：x^2/49+y^2/24=1
双曲线：x^2-y^2/24=1
你自己算算那个夹角吧。这个直角三角形的三边是6，8，10.

Answer 2

设椭圆焦半径为a1，双曲线焦半径为a2，F1F2=2c
PF1+PF2=2a1
|PF1-PF2|=2a2
F1F2=2c
因为PF1⊥PF2，由勾股定理
PF1^2+PF2^2=F1F2^2
PF1^2+PF2^2=[(PF1+PF2)^2+(PF1-PF2)^2]/2=2a1^2+2a2^2
F1F2^2=4c^2
所以
2a1^2+2a2^2=4c^2
(a1/c)^2+(a2/c)^2=2
将e1=c/a1,e2=c/a2带入，得
(1/e1)^2+(1/e2)^2=2

Answer 3

设椭圆方程为x /a y /b =1(a