Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AB=2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点

（1）求证：PA∥平面EFG;
(2)求三棱锥p-EFG的体积

Answer 1

证明：取AD的中点H，连接FH，GH，则EF∥DC，EF=(1/2)DC=1，GH∥DC

所以：EF∥GH

所以：EFHG是梯形，即EFHG四点确定一个平面，

又因为：AP∥FH，且FH在平面EFHG内

所以：AP∥平面EFHG，即PA∥平面EFG

(2)、解：

因为PD⊥面ABCD，AD在平面ABCD内

所以：PD⊥AD

而：AD⊥DC，DC和DP交于D点

所以：AD⊥平面PDC，即AD⊥平面PEF

又因为：AD∥BC

所以：BC⊥平面PEF，即GC⊥平面PEF

所以：GC是棱锥G-PEF的高，

而CG=(1/2)BC=1，底面PEF的面积=（1/4)△PDC的面积=（1/4)*(1/2)*2*2=1/2

所以：棱锥P-EFG的体积=棱锥G-PEF的体积=（1/3)*(1/2)*1=1/6

Answer 2

1)证明：连结AC、作AC中点O、连结OE、OF、OG，

∵E、F是PC、PD的中点，∴EF∥=CD/2，O、G是AC、BC中点，∴OG∥=AB/2，

∵正方形ABCD中，AB∥=CD，∴EF∥=OG，即四边形EFOG是平行四边形，

∵E、O是PC、AC中点，∴PA∥EO，EO在平面EFG中，∴PA∥平面EFG；

2∵PD⊥平面ABCD，∴PF⊥CG，

由上EF∥=CD/2、CD⊥CG，∴EF⊥CG，∴CG是三棱锥PEFG底面PEF上的高，CG=1，

PF=1、EF=1，SRt△PEF=1/2*PF*EF=1/2*1*1=1/2，

V三棱锥PEFG=1/3*S△PEF*CG=1/3*1/2*1=1/6

Answer 3

(1)取AD的中点H，连接FH，GH，则EF∥DC，EF=(1/2)DC=1，GH∥DC
∴EF∥GH
∴EFHG是梯形，即EFHG四点确定一个平面，
又∵AP∥FH，且FH在平面EFHG内
∴AP∥FH，即PA∥平面EFG
（2）∵PD⊥面ABCD，BC在面ABCD上
∴PD⊥BC
又∵BC⊥CD
∴BC⊥面PCD，推出GC⊥面PEF，即GC为三棱锥P-EFG的高
V三棱锥P-EFG=1/3*S△PEF*GC=1/3*1/4S△PDC*GC=1/3*1/4*1/2*PD*CD*GC=1/3*1/4*2*2*1=1/6