Question

求助一道概率论的题目

设随机变量X服从指数分布,则Y=min{X,2}的分布函数
A.是连续函数 B.至少有两个间断点
C.是阶梯函数 D.恰好有一个间断点

Answer 1

选D
设X~exp(t)
fx(x)=te^(-tx)
P(Y=2)=P(X>=2)=e^(-2t)
fY(y)=e^(-2t) (y=2)

P(Y<2)=P(Y=X)
Y<2时，Y和X分布相同，都是指数分布
FY(y)=1-e^(-ty) (y<2)

FY(2)=FY(y)(y<2)+fY(y)(y=2)=1-e^(-2t)+e^(-2t)=1（应该如此，不然就出问题了）

lim y->2- FY(y)=lim y->2 1-e^(-ty)=1-e^(-2t) .由于指数分布参数t>0,此极限小于Fy(2),
所以FY(y)在y=2上有一个间断点。

往后，y>2的话 FY(y)会永远等于1的，所以没有别的间断点
y=0处，Fy(y)右极限等于0，左面y<0处，Fy(y)=0,没有别的间断点

追问

fY(y)=e^(-2t)? fY(y)是什么意思

追答

密度函数
y=2时，fY(y)=e^(-2t)
其实就是fY(2)=e^(-2t)啦
P(Y=2)=e^(-2t)

追问

fY(y)=e^(-2t)是怎么得到的？

追答

X~exp(t)则
P(X>=x)=e^(-xt)

P(Y=2)=P(X>=2)=e^(-2t)
则
fY(2)=e^(-2t)

追问

fY(y)=e^(-2t)和P(Y=2)=e^(-2t)有什么关系，为什么

追答

随机变量Y的分布函数
fY(y)=P(Y=y)
fY(2)=P(Y=2)=e^(-2t)