Question

已知函数f（x）=e^(x-k)-x,(x属于R)

(1)k=0时,若函数g(x)=1/(f(x)+m)的定义域是R,求实数m的取值范围
(2)试判断当k>1时,函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点

Answer 1

(1)f(x)+m不为0，对函数求导，e^x-1,极小值点在0，得m大于-1
（2)f(x)导数e^(x-k)-1,在(k,2k)内递增，即当f(k)与f(2k)异号时有零点。判断得f(k)负，f(2k)正，有零点。

Answer 2

1. 当x≠0 时， e^x -x >0. 函数g(x)=1/(e^x-x +m)的定义域是R
=> m>0
2. f ' (x) = e^(x-k) -1 >0, 当x>k
f(k) = 1-k<0 , f(2k)= e^(k) - 2k
g(k)= e^(k) - 2k ,当k>1 时，g ' (k) = e^(k) - 2>0, g(1)=e-2>0, g(k)>0
f(k) = 1-k<0 , f(2k)= e^(k) - 2k >0
=> 当k>1时, 函数f(x)在(k,2k)内存在零点.