Question

已知1/x-1/y-1/(x+y)=0,求(y/x)^3+(x/y)^3的值

请各位高手赐教~~~！！！麻烦过程详细点

Answer 1

1/x-1/y-1/(x+y)=0变形：
y(x+y)-x(x+y)-xy=0
y²－x²－xy＝0
由x≠0，y≠0，两边同除以xy: y/x-x/y-1=0
设y/x=t,则x/y=1/t,
上式变为 t－1/t-1=0 即t²－t－1＝0
∴ t=(1±√5)/2
1） 当t＝（1＋√5)/2时 y/x=（1＋√5)/2 ,,x/y=2/（1＋√5)=（√5－1)/2
∴y²/x²=（1＋√5)²/4＝（3＋√5)/2, x²/y²＝2/（3＋√5)=(3-√5)/2
∴ (y/x)^3+(x/y)^3
＝（(y/x+x/y)(y²/x²－1＋x²/y²）
=[（1＋√5)/2+√5－1)/2][（3＋√5)/2-1+(3-√5)/2]
=2√5
2）当t＝（1－√5)/2 时， y/x=（1－√5)/2 ,,x/y=2/（1-√5)=－（√5+1)/2
∴y²/x²=（1－√5)²/4＝（3－√5)/2, x²/y²＝2/（3－√5)=(3＋√5)/2
∴∴ (y/x)^3+(x/y)^3
＝（(y/x+x/y)(y²/x²－1＋x²/y²）
＝[（1－√5)/2－（√5+1)/2][（3－√5)/2-1+(3＋√5)/2 ]
=-2√5
请复核数字计算

Answer 2

这里提供个思路吧，先把条件处理如下：
1/x-1/y-1/(x+y)=0
(y-x)/xy=1/(x+y)
(y^2-x^2)=xy
(y/x)^2-(y/x)-1=0
解之得：y/x=(1±√5)/2
故：(y/x)^3+(x/y)^3=(y/x+x/y)[(y/x)^2-y/x*x/y+(x/y)^2]=[(x^2+y^2)/xy][(x^4-x^2y^2+y^4)/x^2y^2]
后面的乘进去，化简一下就差不多了。