Question

高一的数学。求x的取值范围。

定义域在(0,正无穷)上的函数满足(1):f(2)=1 ; (2)f(xy)=f(x)+f(y) ; (3)当x>y时有f(x)>f(y)。若f(x)+f(x-3)<=2,求x的取值范围。
另外麻烦告诉我你怎么想到的？

Answer 1

f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
由递增性，得：f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]<=2=f(4)
所以x(x-3)<=4
x^2-3x-4<=0
(x-4)(x+1)<=0
-1=<x<=4
因为定义域x>0
所以0<x<=4

追问

错了。答案是(3,4]

追答

哦，是错了，由x-3>0--->x>3
所以(3,4]才对。

追问

我也算出来过了。不过你怎么想到这么写的？我这种题碰到完全没有思路，不知道利用f(2)那玩意

追答

因为要利用递增函数的性质。

追问

麻烦具体说一下。一看到这道题我跟本就不会写。你刚看到是怎么想的？

追答

这个主要根据题目的两个性质：1个是函数相加等于因数相乘，（其实就是对数函数的性质，其实可以证明这种函数就是对数函数）
另一个就是递增性。这样就可以将不等式化为只是比较因数的大小了。

Answer 2

0 < x < 4
因为f(2) = 1，所以f(4) = f(2) + f(2) = 2
f(x)+f(x-3)<=2 也就是 f(x(x-3))<=f(4)
根据单调性，
x(x-3) <= 4
x^2 - 3x - 4 <=0
-1 < x < 4
事实上，可以证明f(x) = log2(x)，即以2为底x的对数。

记得采纳

追问

错了。答案是(3,4]