Question

设关于x的方程4的x次方-2的（x+1）次方—b=0（b属于R)

1)若方程有实数解，求实数b的取值范围？
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解

Answer 1

4^x-2^(x+1)-b=0
(2^x)^2-2*2^x-b=0
令2^x=t t>0
t²-2t-b=0 (t>0) 方程要有正根，原方程才有解。
（1） 构造函数f(t)=t²-2t-b
对称轴t0=1 意味着方程只要有解，一定有一个是正数解。
△=2²-4（-b）=4+4b≥0
b≥-1

（2）[1] △=0 b=-1 方程t²-2t-b=0有且只有一个解。
t²-2t+1=0 t=1
2^x=1
x=0
[2] △>0 b>-1 方程t²-2t-b=0有两个解，如上分析，一定有一个正根。两根之积（x1）（x2）=-b
｛1｝-b>0 => b<0 => -1<b<0 两根同号，两根同正。
t1=1+√（b+1）
t2=1-√（b+1）
2^(x1)=t1=1+√（b+1）
两边同时取对数，ln 2^(x1)=ln 1+√（b+1）
x1=[ln 1+√（b+1）]/ln 2
x2=[ln 1-√（b+1）]/ln 2
{2} -b=0 b=0 t²-2t=0 t=0(舍)/2
2^x=2 x=1
{3} -b<0 b>0 两根异号，一正一负。
正根 t=1+√（b+1）
2^x=1+√（b+1）
x=[ln 1+√（b+1）]/ln 2

追问

为什么要说明（2）的【2】那个b的范围呢？

追答

当然需要，因为b的取值不同，影响了判别式△>0或△=0，这是不一样的两种情形吧，这是其一。
其二，即使△>0,也存在两根异号或者是两根同号的的问题，
所以当然要讨论，每种取值都会对根产生影响的。

追问

哦，谢谢。
还要麻烦你，怎么算到 t1=1+√（b+1）
t2=1-√（b+1）

追答

t²-2t-b=0
直接运用求根公式。
ax²+bx+c=0的求根公式x1=（-b+√△）/2a
x2=（-b-√△）/2a

你套用就可以了。

追问

噢，对喔。灰常感谢！

Answer 2

令y=2^x>0,方程化为
y^2-2y-b=0
1)delta=4+4b>=0--> b>=-1
且至少需要一个正数解，因为两根和为y1+y2=2,因此至少有一个正数
因此b>=-1即可。
2）y1+y2=2, y1y2=-b, b>=-1
y1=1+√(1+b), y2=1-√(1+b)，
b=-1,两根相等为1， 此时只有一个根x=log2(1)=0
若-1<b<0, 两根积大于0，因此都是正数，此时X有两个根log2(y1), log2(y2)
若b=0, y1=2, y2=0, 此时只有一个根x=log2(2)=1
若b>0, 两根积小于0，因此只有y1为正数，此时X有一个根log2(y1),

Answer 3

4的x次方-2的（x+1）次方—b=0
(2^x)²-2*2^x-b=0
△=4+4b>=0
b>=-1

当-1<=b<0时 2^x的值是两个正，因此有两个实数根
当b=0时 2^x=0 2^x=2 也有一个实数根
当b>0时 ，2^x的值有一个正，一个负，因此有两个实数根

Answer 4

解：（1）因f(x)有零点，则令f(x)=0即(2^x)^2-2*2^x-b=0得b=(2^x)^2-2*2^x ，令2^x=t
即b=t^2-2t(t>0)故b的取值范围为b>=-1。
(2)因f(x)有零点，则令f(x)=0即(2^x)^2-2*2^x-b=0得b=(2^x)^2-2*2^x ，令2^x=t
即b=t^2-2t(t>0)时有解，故
（i）b=-1时，有一解解得t=1，即2^x=1得x=o
(ii)-1<b<0时，有两解解得0<t<2且t不等于1，故x的范围为：负无穷到0（不含0）并上0（不含0）到1
（iii）b>=0时，有一解，因为t>0，故t>=2，即2^x>=2，因为g(x)=2^x为单调递增函数，得x>=1