Question

求函数 f(X)=X/(X^2+1 ) 的单调区间,并证明其单调性.

Answer 1

f'(X)=[(x²+1)-x(2x)]/(X²+1)²
=(1-x²)/(X²+1)²
=(1+x)(1-x)/(X²+1)²
令f'(x)<0得x<-1或x>1 减区间(-∞，-1]，[1，+∞)
令f'(x)>0得-1<x<1 增区间[-1，1]

Answer 2

解：
分式有意义，分母不等于0，x取任意实数。当x=0时，f(x)=0
当x≠0时
f(x)=x/(x²+1)=1/(x+1/x)
当x<0时，由均值不等式，得x+1/x≤-2，此时-1/2≤f(x)<0，随x的增大，f(x)增大，且无限接近于0.
当x>0时，由均值不等式，得x+1/x≥2，此时0<f(x)≤1/2，随x的增大，f(x)减小，且无限接近于0.
函数的单调递增区间为(-∞，0]，单调递减区间为[0，+∞)