Question

设关于x的方程4的x次方-2的（x+1）次方—b=0（b属于R)

1)若方程有实数解，求实数b的取值范围？
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解

Answer 1

1. 4^x-2^(x+1)-b=0
令 u= 2^x , u>0. 方程化为：
u^2-2u-b=0 即 (u-1)^2=1+b 有解， =》 1+b≥ 0
b的取值范围 b≥-1
2. 当 b=-1 时, (u-1)^2=0, u=1, 方程的解x=0;
当 -1≤ b≤ 0 时, u-1=±√(1+b), u=1±√(1+b), 方程的解x=log[2, 1±√(1+b)];
当 b>0 时, u-1= √(1+b), u=1+√(1+b), 方程的解x=log[2, 1+√(1+b)].

Answer 2

令y=2^x>0,方程化为
y^2-2y-b=0
1)delta=4+4b>=0--> b>=-1
且至少需要一个正数解，因为两根和为y1+y2=2,因此至少有一个正数
因此b>=-1即可。
2）y1+y2=2, y1y2=-b, b>=-1
y1=1+√(1+b), y2=1-√(1+b)，
b=-1,两根相等为1， 此时只有一个根x=log2(1)=0
若-1<b<0, 两根积大于0，因此都是正数，此时X有两个根log2(y1), log2(y2)
若b=0, y1=2, y2=0, 此时只有一个根x=log2(2)=1
若b>0, 两根积小于0，因此只有y1为正数，此时X有一个根log2(y1),