Question

求证：一的平方加上二的平方一直加到n的平方等于六分之n(n+1)(2n+1)

Answer 1

因为 （n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
所以 n^2=[(n+1)^3-n^3-3n-1]/3

为计算1^2+2^2+3^2+......+n^2将上面表达式带入 然后可以抵消掉很多中间项，再简单合并一下剩余部分就可以得到结果。字数有限不能详细给出过程了。

Answer 2

用数学归纳法，n=1时等式明显成立
假设n=k是等式成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
计算n=k+1时，等于 = k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(2k^3+9k^2+13k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6
所以假设成立，得证。

Answer 3

可以逆着证明（反证法）
假设加到n的平方等于六分之n(n+1)(2n+1)
然后把n换成n-1就是一直加到（n-1）的平方的和
相当于少加了一个n的平方
然后用前面的减去后面的，如果得到的是n的平方
则说明要求证的成立！

Answer 4

(k+1)³-k³=3k²+3k+1
∴取k=1,2,3,...n
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
把上式累加
(n+1)³-1=3Sn+[3n(n+1)/2]+n
整理3Sn=(2n³+3n²+n)/2=n(n+1)(2n+1)/2.
∴

Answer 5

设S=1^2+2^2+..+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 上面n个相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+..+n^2] +3*[1+2+..+n] +n 所以得证