Question

正方形ABCD,对角线交点是O,有一个相同正方形EFGO绕O点旋转，重叠部分的面积是这个正方形的四分之一。

只能限定在华东师范大学八年级上（注意：没有学三角形全等）

Answer 1

你这道题有问题，重叠部分不可能是正方形面积的四分之一。重叠部分肯定比这个正方形的内接圆大，而内接圆的面积是正方形的3/4，而内接圆以外的部分面积是正方形的四分之一。但是由于重叠部分的面积大于正方形的面积的3/4，所以，非重叠部分的面积肯定小于正方形面积的1/4。
所以，这道题无论是重叠部分的面积还是费重叠部分的面积，都不可能是正方形面积的1/4。
所以，这道题出得有问题。

追问

如图

追答

重叠部分无非就是三种情况：第一种EFGO的两条相邻边与ABCD中的两条相邻边分别平行；两条相邻边正好与ABCD中两个相邻角重合；间于第一种和第二种之间
前面两种情况，不用说，肯定是ABCD的四分之一
第三种情况，正如你提供的图一样，显然Rt△OEM≌Rt△OFN，所以，四边形OMCN面积等于正方形OFCE的面积，所以，这种情况还是重叠部分的面积等于ABCD的四分之一。
所以，无论怎样旋转，这两个正方形的重叠部分的面积都是原正方形面积的四分之一。

追问

只能限定在华东师范大学八年级上（注意：没有学三角形全等）

追答

不用全等定理，要证明边相等，我所能考虑到的，只能采用如下方法了：
由于OEFG是正方形，所以，其相邻两边对于其夹的对角线是对称的，所以，OE边相对于ＡＢＣＤ正方形的边移动的角度与OF边相对于ABCD正方形的边移动的角度是相等的；又因为OF=OE，所以，FN=ME
又因为重叠部分的ONCM的面积=梯形OECN的面积+△OEM的面积
而△OEM的面积=1/2×OE×ME
△ONF的面积=1/2×OF×NF
因为OE=OF，ME=NF
所以△OEM的面积=△ONF的面积
所以重叠部分的面积=梯形OFCE+△OFN=正方形ABCD面积的1/4

Answer 2

一个正方形在两条对角线的交点再粘上一个正方形，重叠部分的面积是这个正方形的四分之一。你可以通过旋转到特殊位置来验证，否则只能用全等来推理的

Answer 3

一个正方形在两条对角线的交点再粘上一个正方形，这个正方形始终是重叠部分的四倍