Question

线性代数 选择题

若向量组α，β，γ现行无关，α，β，δ现行相关，则
（A） α必可由β，γ，δ线性表出 （B）β必不能由α，γ，δ线性表出
（C）δ必可由α，β，γ线性表出 （D）δ必不能由α，β，γ线性表出
我能确定选C，D 也肯定不对，那B呢，为什么错了，B应该是必定不能被表示的呀，还有就是A项，有没有可能被表出？

Answer 1

分析: 由 α，β，γ 线性无关, 所以 α，β 线性无关
又因为 α，β，δ 线性相关,
所以 δ 可由α，β 线性表出
所以 δ 必可由α，β，γ线性表出
(C) 正确.
这是由已知条件, 按正常思路自然得到的结论.

下面看看你的疑惑.
先看(B). 设 α，β，γ 分别为 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), δ = (1,1,0)
满足已知条件. 但 β = -α +δ
故(B)不对.

再看看(A). 设 α，β，γ 分别为 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), δ = (0,0,0)
满足已知条件. 但α不能由β，γ，δ线性表出
故(A)不对.

Answer 2

可以举出统一的反例：
α=(1,0,0)，β=(0,1,0)，γ=(0,0,1)，δ=(0,1,0)，
满足条件“α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关”，但A,B,D都不成立：
A. α无法由β,γ,δ线性表示
B. β=δ
D. δ=β

Answer 3

B. 如果δ=β，它满足条件，且β能被线性表出
A. α有可能被表示出，但是不是“必可”，例如如果δ=β，则不能表出
CD就不用说了