Question

已知A（3，0），B（0，3）C（cosα,sinα），

①若向量AC×向量BC=－1，求sin（α＋π／4）的值；
②若O为坐标原点，|向量OA－向量OC|＝根号下13，且α∈（0，π），求向量OB与向量OC的夹角。

第二问求详解！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

(1) → →
AC•BC=(cosα-3,sinα)•(cosα,sinα-3)=1-3(sinα+cosα)=-1,得sinα+cosα=2/3.
√2 √2
而sin(α＋π／4)=----(sinα+cosα)=----.
2 3
(2) → → → → →
|OA－OC|=|CA|=√13, 又|OA|=3, |OC|=1.(以下省略箭头)
|OC|²+|OA|²-|CA|² 1
∴在△OAC中由余弦定理得 cosα=-----------------------=----.
2|OA|•|OC| 2
∵α∈（0，π）. ∴α=π/3.
设OB,OC的夹角θ（θ=<OB,OC>）,则
OB•OC (0,3)•(cosα,sinα) √3
cosθ=-------------=----------------------- = sinα = ----,又θ∈[0,π]. ∴θ=π/6.
|OB|•|OC| 3 2

Answer 2

向量AC=（cosα-3，sinα）
向量BC=（cosα，sinα-3）
得cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1
即3×（根号2）×sin（α+π/4）=2得sin（α+π/4）=（根号2）/3

两边同时平方得
2×向量OA×向量OC+OA²+OC²=13，∵α∈（0，π），|向量OA|=3，|向量OC|=1
得|向量OA|×|向量OC|×cosα=3/2 得cosα=1/2，α=π/3. C（1/2，（根号3）/2）.
C在第一象限，作图知OA与OC的夹角和OB与OC的夹角互余。
故所求角为π/2-π/3=π/6

Answer 3

做任务

追问

什么意思，做什么任务