Question

已知数列｛an｝满足a1=1，an=3^n-1+an-1，证明an=3^n-1/2

请问如何用数学归纳法证明？

Answer 1

n=1时，a(1)=1=(3^1-1)/2，命题成立
假设当n=k时，a(k)=(3^k-1)/2
则a(k+1)=3^k+a(k)=3^k+(3^k-1)/2=[3^(k+1)-1]/2

所以由数学归纳法知，命题成立

Answer 2

an=3^n-1+an-1
an－an-1=3^n-1
说明数列｛an｝是差后等比数列
因此a2-a1=3
a3-a2=3^2
...
an－an-1=3^n-1
相加得an-a1=3+3^2+...+3^n-1
an=3^n-1/2