Question

几何证明题

AB,CD延长交于P,AC,BD延长交于Q，F在圆上，QF交园于G，延长PF,PG交圆于E,H.证：Q,H,E共线

Answer 1

这个题目比较复杂，是反演变换的引申，这类题目和很多竞赛题目有关，如97年CMO第一题，也有很多人做过探讨，有过很多结论。利用那些已有的结论比较简单，否则会很麻烦。 

我这里有个同一法的辅助线图，看能否看懂，有问题可以再探讨。

追问

简化一下，对于两条切线两条截线的情况怎么证明呢？我的书上就是两条切线两条截线的情况，用到梅涅劳斯定理和塞瓦定理，但是我觉得他的证明有漏洞，能帮我证一次吗？

追答

能详述你的问题么？画个图，把条件和要证明的结论说清楚。如果这里能说明白的话就这里说，否则可能需要写文章才能说清楚。

追问

不好意思，图不好
证明里面用塞瓦定理证K为AC,BD交点时默认PKM共线，而题目中没有这个条件，我觉得这一步不对。

追答

答案没问题，是你理解错了。不是要证明K为AC、BD交点，而是AC、BD交点本来就是K。再用赛瓦定理证明PM、AC、BD共点。因AC、BD的交点为K，也即是说PM过K点了，即P、K、M三点共线。
这个题目好像是第三十二届IMO的一道预选题（好像是三十二届，七八年不碰数学，记不清了）。
我的方法比这个简洁，但用到三个引理。一个是三割线定理，一个是张角定理，还有一个常用结论。

追问

是我理解错了，你的方法是什么啊？能写一下吗？

追答

你先尝试证明两个引理：
1、张角定理：D为△ABC中BC边上一点，则：sin∠BAC/AD=sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB。
2、P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，割线PDE交圆O于D、E，交弦AB于F，则2/PF=1/PD+1/PE。

Answer 2

好难呀

Answer 3

好难。。。看不懂哎~ = =