Question

三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点作一

三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点作一个60度角,使其两边分别交AB于点M,AC于点N,连接MN,求三角形AMN的周长

Answer 1

解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

Answer 2

解：延长AC至P点，使得CP=BM，
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD ∠DBC=∠DCB=30°
∵△ABC等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理∠NCD=90°
∴ ∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
∴ △BDM≌△CDP
∴ MD=PD
∴∠MDB=∠PDC
∵∠MDN=60°
∴ ∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°
即 ∠MDN=∠PDN=60°
∴ △NMD≌△NPD（SAS）
∴ MN=PN=NC+CP=NC+BM
∴ △AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=3+3=6
∴△AMN的周长为6