Question

实系数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1），另一个根在区间（1，2）内

实系数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1），另一个根在区间（1，2）内，求： （1），点（a,b对应的区域的面积？（2）.b-2/a-1的取值范围。 （3）.（a-1²）+（b-2）²的值域

Answer 1

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记 f(x)=x^2+ax+2b ，则抛物线开口向上。由已知得以下三式同时成立：

① f(0)=2b>0 ，

② f(1)=1+a+2b<0 ，

③ f(2)=4+2a+2b>0 ，

把（a，b）看作点的坐标，则同时满足上述三式的（a，b）是如图所示的三角形 ABC 内部（不包括边界），

其中 A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）。

（1）面积为 1/2*|yA|*|BC|=1/2*1*1=1/2 。

（2）(b-2)/(a-1) 表示区域内的点 P（a，b）与点 Q（1，2）连线的斜率 kPQ ，

由图知，当直线 PQ 过点 A 时，kPQ 最小为 (2-1)/(1+3)=1/4 ，

当直线过 C 时，kPQ 最大，为 (2-0)/(1+1)=1 ，

因此所求取值范围为区间 （1/4，1）。

（3）(a-1)^2+(b-2)^2 表示区域内的点与点 Q（1，2）之间距离的平方，

由图知，当 P 与 C 重合时，所求值最小，为 (-1-1)^2+(0-2)^2=8 ，

当 P 与 A 重合时，所求值最大，为 (-3-1)^2+(1-2)^2=17 ，

所以，所求值域为区间（8，17）。