Question

设函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)

Answer 1

1.令f'(x)=(x^2+4x)e^x=0得:x=0或x=-4
x<-4时,f'(x)>0,-4<x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0,所以极大值为f(-4),极小值为f(0)
2.令f'(x)=(x^2+(a+2)x+a+b)e^x=0得:x^2+(a+2)x+a+b=0,因为x=1是一个极值点,所以x=1的方程的一个解,设方程另一个解x=t,所以1+t=-2-a,t=a+b,所以1+a+b=-2-a,所以b=-3-2a
当t=-3-a<1时,在(-∞,-3-a)和(1,+∞)递增,(-3-a,1)递减.
当t=-3-a>1时,在(-∞,1)和(-3-a,+∞)递增,(1,-3-a)递减. (t=-3-a=1时,x=1不是极值点)
3.只需|f(x)最大-g(x)最小|<1或|g(x)最大-f(x)最小|<1
g(x)最小=g(0)=(a^2+14)e^4,
而由2.知x=1是极小值,f(0)=-3-a<0,f(4)=(3a+13)e^4>0,所以f(x)最大=f(4),
而|g(x)最大-f(x)最小|>1,舍,g(x)最小-f(x)最大=(a^2-3a+1)e^4
当a^2-3a+1≥0,只需(a^2-3a+1)e^4<1,解得
(3/2-根号(5/4+e^(-4)),3/2-根号(5/4)]∪[3/2+根号(5/4),3/2+根号(5/4+e^(-4)))
当a^2-3a+1<0,只需(a^2-3a+1)e^4>-1,解得
(3/2-根号(5/4),3/2-根号(5/4-e^(-4)))∪(3/2+根号(5/4-e^(-4)),3/2+根号(5/4)
求并集可得答案:
(3/2-根号(5/4+e^(-4)),3/2-根号(5/4-e^(-4)))∪(3/2+根号(5/4-e^(-4)),3/2+根号(5/4+e^(-4)))