Question

问一道数学问题，急啊~~~~

已知以下三个二次方程有公共根：ax²＋bx＋c=0,bx²＋cx＋a=0,cx²＋ax＋b=0.
(1)求证:a＋b＋c=0 (2)求这三个方程的根 (3)求式子a³＋b³＋c³/abc的值.

Answer 1

1）三个方程相加得：
x^2(a+b+c)+x(a+b+c)+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x^2+x+1)=0
因为x^2+x+1恒大于0
所以a+b+c=0
2）明显X=1时为公共根，每个方程x=1代入都为a+b+c=0
方程的另一个根可用根与系数的关系式得出，分别为：a/c, b/a, c/b
3).由公式x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
得：a^3+b^3+c^3=3abc
因此式子=3

Answer 2

设公共根是m
则am^2+bm+c=0
bm^2+cm+a=0
cm^2+am+b=0
相加
(a+b+c)m^2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0
(a+b+c)(m^2+m+1)=0
因为m^2+m+1=(m+1/2)^2+3/4>0，即不会等于0
所以a+b+c=0