Question

已知正四棱锥S_ABCD中，SA=2√3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高是多少？答案是3，求过程，谢谢

Answer 1

设底边长2a,则底面外接圆半径为√2×a.设底面中心为O，则在直角三角形SOA中，设高为SO=h，所以易得正四棱锥的体积V=1/3×4a²×h＝8h－2/3×h³.对体积V求导数,且令V′﹙h﹚＝0,有8－2h²＝0,h＝2.(取正值）。答：当正四棱锥的高SO=h=2时，体积最大。最大体积为32/3.（此时的底边长2a=4）。
附记：当h=3时，底边长为√6，底面积为6，V=1/3×3×6=6.很是不大。又记，体积V的图像是一条“倒写的”N字形，我们用的是“倒写的N”的右边的驼峰。

Answer 2

首先构建一个用棱锥高h来表示的关于棱锥体积V的函数。
设V为棱锥体积，h为高，s为底面积，a为底面正方形ABCD的边长，点O为正方形对角线交点（中心）
棱锥体积V=1/3sh，其中s=a²；
构建一个三角形，直角边分别为OA和OS（即为高），斜边为SA。勾股定理 OA²+OS²=SA²
而 OA=a/根号2， OS=h ， SA=2倍根号3
所以 （a/根号）²+（h）²=（2倍根号3）²
简化此等式，代入棱锥体积公式，把a用h替换掉
得到函数 f(h)=V=-2h³+24h，（h＞0，V＞0）问题即转化为求该函数在h取何值时使得V最大值
第二步就是求导了
f'(h)=V'=-6h²+24
h有两个值可以使该导函数为零，即 h= 正或负2倍根号3 时，V'=0，（此处，h负值情况不成立，舍去）也就是说当 h=2倍根号3 时，原函数f(h)=V可以达到最大值最大值
所以答案是当h=2倍根号3时，该四棱锥体积最大。

Answer 3

我认为这是均值不等式的题或是个二次函数的题，往这方面想想
是函数的题，运用勾股定理，变量代换，整理成个函数式子，求最值