Question

【急】如何求下列积分

Answer 1

第2题：设1+√x=t,则有x=(t-1)^2.
∫arctantd(t-1)^2
=(t-1)^2arctant-∫(t^2+1-2t)darctant
=(t-1)^2arctant-∫(t^2+1-2t)/(t^2+1)dt
=(t-1)^2arctant-∫dt+∫d(t^2+1)/(t^2+1)
=(t-1)^2arctant-t+ln(t^2+1)+c
=xarctan(1+√x)-(1+√x)+ln(x+2+2√x)+c.

第3题：换元法，设e^bx=t,则有x=lnt/b.
所以：
第3题
=∫d(lnt/b)/(a+kt)
=(1/b)∫dt/[t(a+kt)
=(1/ab)∫[1/t-k/(a+kt)]dt
=(1/ab)∫dt/t-(1/ab)∫d(kt+a)/(kt+a)
=(1/ab)ln[t/(kt+a)]+c
=(1/ab)ln[e^bx/(ke^bx+a]+c.

第5题，用到两次换元方法，设e^x=t,则有x=lnt.
所以：
第5题
=∫dlnt/(1+t)^2
=∫dt/[t(1+t)^2]
再设y=1/t，则有t=1/y，
=∫d(1/y)/[(1/y)(1+1/y)^2]
=-∫ydy/(1+y)^2
=∫yd(1+y)^(-1)
=y/(1+y)-ln(1+y)+c
=1/(e^x+1)-ln[(e^x+1)/e^x]+c.

第6题，用到的不定积分公式是：∫dx/√(x^2+a^2)=ln(x+√(x^2+a^2)+c.
第6题
=∫dx/√[(x+1/2)^2+3/4]
=∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+3/4] 用上面的公式得到：
=ln{(x+1/2)+√[(x+1/2)^2+3/4]}+c.

第7题，应该是设x=tgt。

Answer 2

你题中是正弦还是正割？是sin吧？

追问

sin