Question

设函数 f(x)=1/(x+2) + lg(1-x)/(1+x)，求证明函数单调性。详细过程！

Answer 1

对数有意义，(1-x)/(1+x)>0
(x-1)/(x+1)<0
-1<x<1 x+2恒>0，分式1/(x+2)恒有意义。
令-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)
=1/(x2+2) +lg[(1-x2)/(1+x2)] -1/(x1+2) -lg[(1-x1)/(1+x1)]
=[(x1+2)-(x2+2)]/[(x1+2)(x2+2)] +lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]
=(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]+lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]
x1<x2 x1-x2<0 又x1+2>0，x2+2>0，因此(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]<0
0<x1<x2<1 0<1-x2<1-x1 0<1+x1<1+x2
0<(1-x2)/(1+x1)/[(1-x1)(1+x2)]<1
lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]<0
(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]+lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]<0
f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数f(x)在(-1，1)上单调递减。