Question

想请教大侠Y+N=3N/2+3是怎么推算来的，想了半天还是没想出来。

在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖，假如先前N个中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的.那么根据题意就可以有:
空隙个数Y=3N/2+3(自己推算)
每一个空都要一个圆来盖
桌面就一共有圆的数为:

Y+N=3N/2+3
=5N/2+3 <=4N(除N=1外)

所以可以用4N个硬币完全覆盖

Answer 1

　　这道题是一道数学竞赛题，而且历时悠久。
　　本人看过网上所有关于这道硬币题的解题方法。而发现其中的这个“公式”方法，有很多错误，然而传播这个方法的那些人（完全就是复制粘贴，估计他们对数学一点兴趣都没有），都是照抄搬过来的，没有一点琢磨与改正，导致很多人对这个方法都不理解。
　　我在网上也没有看见有人对这个方法有质疑，所以本人也就懒得去做说明。

　　不过，今天终于看见一位有心之人。所以为您解释一下这个答案的错误、误区、具体思路和解题步骤吧~~~

　　首先，关于这个答案，其中的错误有两点（估计是当时第一个回答者匆匆回答，误写的。而“后来人”也没有去品味其中的思路）：
　　1、“假如先前N个中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的.那么根据题意就可以有”这句话中的“且边上的都超出桌子的边上”这个短句是错误的，少了一个字就是“未”，也就是“且边上的都未超出桌子的边上”。
　　改正过来，并加标点符号就是：“假如先前N个中没有重叠、且边上的都未超出桌子的边缘、且全都是紧靠着的，那么根据题意就可以有”（这才是作者的内心想法）
　　2、“Y+N=3N/2+3=5N/2+3 <=4N(除N=1外)”
　　这个解答中，也少了些东西就是“+N”
　　改正过来，并加括号就是：
　　横式：“Y+N=(3N/2)+3+N=(5N/2)+3 <=4N(除N=1外)”
　　竖式：“Y+N=(3N/2)+3+N
　　=(5N/2)+3 <=4N(除N=1外)”

　　加以修改后，整个解答方法，正确步骤应该为：
　　假如先前N个中没有重叠、且边上的都未超出桌子的边缘、且全都是紧靠着的，
　　那么根据题意就可以有：
　　空隙个数：
　　Y=（3N/2）+3(自己推算)
　　每一个空，都要一个圆来盖桌面，一共有圆的数为：
　　Y+N=(3N/2)+3+N
　　=(5N/2)+3 <=4N(除N=1外)”
　　所以可以用4N个硬币完全覆盖

　　那么接下来，咱们说说回答者的思路和步骤的由来
　　1、首先就是这个“空隙个数Y=（3N/2）+3”是怎么算术来的
　　（1）我们试想一下，把一张桌子切成无数个大小相等的正方形，而且每个正方形刚好被一个硬币填满（也就是以小正方形的中心为硬币的圆点，硬币的半径正好是中心到正方形桌子四边中点的距离，也就是所谓的“未出桌子边缘”）
　　（2）我们依照假设（如果假设没有“未”字，是得不出来这个公式的）——“假如先前N个中没有重叠、且边上的都未超出桌子的边缘、且全都是紧靠着的”
　　那么我么可以得出以下数列：
　　当有两个硬币的时候，桌子的空隙是六个，当有四个硬币的时候，桌子的空隙是九个（你可以自己画画试试），以此类推：
　　硬币数（n） 空隙数（Y）
　　2 6
　　4 9
　　6 12
　　8 15
　　~~ ~~~
　　那么空隙数（Y）应该怎么求呢？不知道楼主是否知道“等差数列”的通项公式：an=a1+(n-1)d
　　那么我们有Y（N）=Y1+（N-1）d ，其中“N”并不是我们的硬币数“n”，只是数列中的项数，比如：空隙数第一项（Y1）是6，N=1；第二项（Y2）是9、N=2。d是公差，这里面d=3
　　那么由公式得：Y（N）=6+（N-1）*3=3N+3
　　（3）但是，我们要知道的是“硬币数”与“空隙数”的关系，而不是“项数”与“空隙数”的关系，我们要想把“硬币数”转换为“项数”，则应该是：“2个硬币”除以“2”为“第一项”，“4个硬币”除以“2”为“第二项”，以此类推，即：n/2=N
　　那么我们便得出Y=（3n/2）+3，
　　（而作者回答的“Y=3N/2+3”中的“N”其实就是“硬币数”，而不是“项数”）

　　2、接下来就是“每一个空都要一个圆来盖桌面就一共有圆的数为：Y+N”的由来
　　这个应该不难理解：“Y”是空隙数。很多人会问，那么“N”是什么呢？当然就是：刚开始正好填满桌面，并且未出桌子边缘的硬币数了。
　　那么我们由开始的“N”个硬币 加上 “N”个硬币所产生的空隙“Y”，则得出最少完全覆盖桌面（一点空隙也没有）的硬币数：也就是Y+N
　　由上面算得：Y=（3N/2）+3，那么Y+N=（3N/2）+3+N=（5N/2+3） <=4N

　　回答完毕，不知道楼主明没明白，要是还有问题尽管找我留言。
　　（最后提个小要求：楼主给的10分是不是有点少啊~~~嘿嘿~~~您随意吧~~~）