Question

已知f(x)=loga(x)(a>0且a≠1,x∈R+),若x1,x2∈R+

已知f(x)=loga(x)(a>0且a≠1,x∈R+),若x1,x2∈R+,试比较1/2[f(x1)+f(x2)]与
f（（x1+x2)/2 ）的大小，并加以证明？

Answer 1

若0＜a＜1，则1/2[f(x1)+f(x2)]≥f（（x1+x2)/2 ）
若a＞1，则1/2[f(x1)+f(x2)]≤f（（x1+x2)/2 ）
证明：
1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[loga(x1)+loga(x2)]=1/2loga(x1x2)=loga(√x1x2)，
由于(x1+x2)/2≥2√x1x2)/2 =√x1x2，
若0＜a＜1，f（(x1+x2)/2 ）=loga[(x1+x2)/2 ]≤loga(√x1x2)=1/2[f(x1)+f(x2)]；
若a＞1，f（(x1+x2)/2 ）=loga[(x1+x2)/2 ]≥loga(√x1x2)=1/2[f(x1)+f(x2)]。

Answer 2

f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]/2=loga(x1/2+x2/2)-(logax1+logax2)/2
=loga(x1/2+x2/2)-loga√xy=loga[(x1/2+x2/2)/(√x1x2)]
∵x1/2+x2/2-√x1x2=(√x1-√x2)^2/2>0,∴(x1/2+x2/2)/(√x1x2)>1
①a>1,(由图可以明显的看出图像上任意两点AB,AB中点在对应的函数点之下)
f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]/2=loga[(x1/2+x2/2)/(√x1x2)]>0
∴f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x2)]/2
②0<a<1,(由图可以明显的看出图像上任意两点AB,AB中点在对应的函数点之上)
f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]/2=loga[(x1/2+x2/2)/(√x1x2)]<0
∴f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2