Question

高中数学导数难题

已知函数f(x)=2ln(x)-x^2。
如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（a,0)、B(b,0).且0<a<b.y=g'(x)是y=g(x)的导函数。若正常数p,q满足p+q=1,q≥p.
求证：g'(pa+qb)<0

Answer 1

题目：已知函数f(x)=2lnx-x^2.如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2. 求证：g'(px1+qx2)<0（其中正常数p、q满足p+q=1,q≥p）。
分析，易用反证法。
我们设AB中点C(xo,0),
则有xo=(x1+x2)/2,由p+q=1,q>=p,且p,q为正实数易得0<p<=1/2。
那么(px1+qx2)-xo=px1+(1-p)x2-(x1+x2)/2=(x1-x2)(2p-1)/2>=0,(0<x1<x2)
得到(px1+qx2)>=xo。
由g(x)=2lnx-x^2-ax，得其一阶导数g'(x)=2/x-2x-a，
再对g'(x)求导,得其二阶导数g"(x)=-2/x^2-2<0,(x>0),
知g'(x)在x>0上单调递减，得g'(px1+qx2)<=g'(xo)，
于是要证g'(px1+qx2)<0,只需证g'(xo)<0即可。
下面采用反证法证明。
假设g'(xo)>=0成立。
结合已知可得
2lnx1-x1^2-ax1=0.....(1),
2lnx2-x2^2-ax2=0......(2),
2/xo-2xo-a>=0......(3),
xo=(x1+x2)/2......(4),
联立四式消去a得，存在0<x1<x2使得
ln(x2/x1)-2(x2-x1)/(x2+x1)<=0，
即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]<=0......(5)。
令x2/x1=t,(t>1)并记h(t)=lnt-2(t-1)/(t+1),(t>1)
求导易得h'(t)=(t-1)^2/[t(t+1)^2]>0,(t>1)
则有h(t)在t>1上单调递增，又h(t)可在t=1处连续，
于是h(t)>h(1)=0,(t>1)即lnt-2(t-1)/(t+1)>0
亦即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]>0
但与(5)式相矛盾，因此g'(xo)>=0这一假设是不成立的，
进而有g'(xo)<0,于是g'(px1+qx2)<=g'(xo)<0
从而g'(px1+qx2)<0，命题得证。
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Answer 2

不知道