Question

初中数学几何内接正n边形证明问题

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Answer 1

证明：如图：圆O的半径为R，AB=a为圆的内接正n边形的一个边，F是AB弧的中点，CD=b是圆的切线，F是切点，则CD是圆O外切正n边形的一个边。

1，

∵F是AB弧的中点（所做）

∴AE=BE=a/2，AB⊥OF（平分弧的半径也垂直平分弧所对的弦）

∵F是切点（所做）

∴CD⊥OF（切线垂直于过切点的半径）

∵OC=OD（圆外切正n边形关于圆心对称）

∴⊿OCD是等腰三角形（两边相等的三角形是等腰三角形）

∴CF=DF=b/2（等腰三角形底边的垂线平分底边）

∴OE²=OA²-AE²=R²-(a/2)²

2，

因为：AE∥CF（垂直于一条直线的两条直线平行）

所以：AE/CF=OE/OF（平行于三角形一边的直线，和其它两边相交，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例）

两边平方得：AE²/CF=OE²/OF²，即：(a/2)²/(b/2)²= [R²-(a/2)²]/R²

整理得：b=2aR/√[4R²-a²]