Question

大一高数:求以下微分方程的通解(高手进)

y′ - y=x^2
y″ = y
y′ =e^(y/x) +(y/x)
麻烦告诉我这些是什么类型的方程，是齐次方程，二阶常系数齐次线性微分方程，像这类的。谢谢！答得好一定采纳！并加分！帮帮我吧！谢谢！

Answer 1

1. 一阶常系数线性非齐次方程
齐次通解为y=e^x
特解设为y=ax平方＋bx+c
y'=2ax+b
2ax+b-ax平方-bx-c=x^2
-ax^2+(2a-b)x+b-c=x^2
-a=1
2a-b=0
b-c=0
所以
a=-1
b=-2
c=-2
特解为y=-x^2-2x-2
通解为y=ce^x-x^2-2x-2

2. 二阶常系数齐次线性方程
r平方=1
r1=1,r2=-1
通解为y=c1e^x+c2e^(-x)

3.齐次方程
令y/x=u
y=ux
y'=xu'+u
代入原式，得
xu'+u=e^u+u
xdu/dx=e^u
-e^(-u)du=-1/xdx
两边积分，得
e^(-u)=-lnx+lnc
e^(-u)=lnc/x
c/x=e^[e^(-u)]
c=xe^[e^(-u)]
即
通解为
xe^[e^(-y/x)]=c

追问

请问你是怎么判断出第一个是非齐次方程的？要经过计算吗？

追答

y′ - y=0
这个是齐次的
y′ - y=x^2
是非齐次的，主要看等号右边是0还是不是0.