Question

如图所示,已知等腰△ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F过点B作BD

如图所示,已知等腰△ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F过点B作BD⊥AC,垂足为D，试说明：PE+PF=BD.

Answer 1

过P点作PM⊥BD于M，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90°
∴四边形DFPM为矩形
∴PF=MD，PM∥AC
∴∠MPB=∠C
又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC
即∠ABC=∠C=∠MPB
又∵∠PEB=∠BMP=90°，BP=BP
∴△BEP≌△PMB
∴PE=BM
又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD
∴PE+PF=BD

Answer 2

PD+PE是确定的，PD+PE=3.5

连接AP，
S△ABC=S△APB+S△ACP
=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE
由于AB=AC=8
所以
S△ABC=1/2*8*PD+1/2*8*PE
=4(PD+PE)
由于S△ABC=14
所以PD+PE=14/4=3.5