Question

已知x,y∈R,求证x2-xy+y2>=x+y-1

Answer 1

解：原不等式等价于x²+y²-xy-x-y+1》0
可把函数x²+y²-xy-x-y+1当做x的二次函数，
函数f(x)=x²-x(y+1)-y+1+y²
根据二次方程判别公式△=-3（1-y)²
因此仅当y=1时方程有解x=1,
函数f(x)=0
当y取其它值时与x轴无交点，二次函数f(x)开口向上，恒大于0.

Answer 2

(x²-xy+y²)-(x+y-1)
=[(x²-2xy+y²)+(x²-2x+1)+(y²-2y+1)]/2
=[(x-y)²+(x-1)²+(y-1)²]/2
≥0
∴x²-xy+y²≥x+y-1
当且仅当x=y=1时取等号