Question

高手进 数学2道题 要求详细过程

一个任意三角形里有一个最大半圆形，半圆形直径（DE）为1；AB，AC是半圆切线；DE在BC上。当△ABC的周长为最小时，求三角形的周长。

（提示：这是任意三角形；直角三角形的周长不是最短；要详细过程）

2.如图，ABC为正三角形，O是三角形的垂心，也是圆心。若 AD+AE+弧DE=EF+弧EF，求
①角DOE的大小（角度；写成【a°+[b×√（c）]°】的形式或【sin（x°）】的形式）
②AD与EF的比值（写成【1:x】的形式）

（要详细过程）
（答出两题且全对者追加赏赐）
（第一题答案必须写成【a+b√(c)】的形式）





Answer 1

做半圆的圆心O，连接AO、GO、FO。



∵AB，AC是半圆切线，切点分别是G，F，点O为半圆的圆心

∴OG，OF是圆的半径，且OG⊥AB，OF⊥AC

∴AO是∠A的角平分线

∵在⊿AOG中，AG=OG*cot(∠A/2)=cot(∠A/2)
在⊿AOF中，AF=OF*cot(∠A/2)=cot(∠A/2)
在⊿BOG中，BG=OG*cot∠B=cot∠B，BO=√(BG²+OG²)=√(cot²∠B+1²)
在⊿COF在，CF=OF*cot∠C=cot∠C，CO=√(CF²+OF²)=√(cot²∠C+1²)

∴C⊿ABC
=AB+AC+BC
=AG+BG+AF+CF+BO+CO
=cot(∠A/2)+cot∠B+cot(∠A/2)+cot∠C+√(cot²∠B+1²)+√(cot²∠C+1²)

∵∠B、∠C、∠A/2都是锐角

∴∠B、∠C、∠A/2余切值都是整数

∴根据均值不等式，有

cot²∠B+1²≥2(cot∠B*1)
当cot∠B=1时，cot²∠B+1²取最小值2

cot²∠C+1²≥2(cot∠C*1)
当cot∠C=1时，cot²∠C+1²取最小值2

cot(∠A/2)+cot∠B+cot(∠A/2)+cot∠C≥4√[cot(∠A/2)*cot∠B*cot(∠A/2)*cot∠C]
当cot(∠A/2)=cot∠B=cot(∠A/2)=cot∠C时，取最小值

∴cot(∠A/2)=cot∠B=cot∠C=1

∴C⊿ABC≥4+√2+√2=4+2√2

∴C⊿ABC的最小值是4+2√2


【此数值比等边三角形的周长还要小】

追问

答案不对

追答

哎呀，搞错啦。我把1看做半圆的半径了，原来1是半圆的直径，大意啦。我就重新做下，只从错误的地方开始：

∵在⊿AOG中，AG=OG*cot(∠A/2)=cot(∠A/2)/2
在⊿AOF中，AF=OF*cot(∠A/2)=cot(∠A/2)/2
在⊿BOG中，BG=OG*cot∠B=cot∠B/2，BO=√(BG²+OG²)=√[(cot∠B/2)²+(1/2)²]
在⊿COF在，CF=OF*cot∠C=cot∠C/2，CO=√(CF²+OF²)=√[(cot²∠C/2)²+(1/2)²]

∴C⊿ABC
=AB+AC+BC
=AG+BG+AF+CF+BO+CO
=cot(∠A/2)/2+cot∠B/2+cot(∠A/2)/2+cot∠C/2+√[(cot∠B/2)²+(1/2)²]+√[(cot²∠C/2)²+(1/2)²]
=[cot(∠A/2)+cot∠B+cot(∠A/2)+cot∠C]/2+√[(cot²∠B+1²)/2²]+√[(cot²∠C+1²)/2²]
=[cot(∠A/2)+cot∠B+cot(∠A/2)+cot∠C+√(cot²∠B+1²)+√(cot²∠C+1²)]/2

∵∠B、∠C、∠A/2都是锐角

∴∠B、∠C、∠A/2余切值都是整数

∴根据均值不等式，有

cot²∠B+1²≥2(cot∠B*1)
当cot∠B=1时，cot²∠B+1²取最小值2

cot²∠C+1²≥2(cot∠C*1)
当cot∠C=1时，cot²∠C+1²取最小值2

cot(∠A/2)+cot∠B+cot(∠A/2)+cot∠C≥4√[cot(∠A/2)*cot∠B*cot(∠A/2)*cot∠C]
当cot(∠A/2)=cot∠B=cot(∠A/2)=cot∠C时，取最小值

∴cot(∠A/2)=cot∠B=cot∠C=1

∴C⊿ABC≥(4+√2+√2)/2=(4+2√2)/2=2+√2

∴C⊿ABC的最小值是2+√2

【其实就是修改了数值，使原来半径为1，改为1/2，原来的结果除以2即可，其他的不变】

Answer 2

1.肯定是等腰三角形，∠B、∠C相等；L=0.5/sinB+0.5/sinC+0.5/tanB+0.5/tanC+2*0.5/(tan((π-A-B)/2))令x=tan(A/2)，y=tan(B/2)，x,y∈(0,1)，则L(x，y)=(x+y)(1+xy)/(2(1-xy)xy) ......（1），对L(x，y)的x，y求偏导，令之为零，可解得x=y=√(√5-2)，代入（1）即可。追问第一题正确（但能尝试证明其他任意三角形的周长比‘你所述的’三角形周长短吗），第二题呢 回答第一题不知道计算是否正确，但由二元函数的极值问题的解决就是通过偏导数了，由实际问题，应该就是极小值了。如果计算没错，周长应该为2/(sqrt(sqrt(5)-2)*(6-2*sqrt(5)))，sqrt和√一个意思。第二题2*sin(x/2)-sin(π/3-x/2)+x=π/3，也即5/2sin(x/2)-(√3)/2cos(x/2)+x=π/3，大概在47.5°~47.7°之间。第2问应该就是sin(x/2)/sin(π/3-x/2)了，比值中x大概在1.460~1,465之间。 追问能写成【a°+[b×√（c）]°】的形式或【sin（x°）】的形式吗?

Answer 3

首先，当三角形为等边三角形时。周长最小。DE的中点F，则FG垂直于AB，且为1.，角abc=60度，则BF=（2√3）/3，则三角形的周长为6BF=4√3；第二题，

追问

不对，你怎么知道等边三角形最短？你先做第二题给我看看吧
而且你好像算错了正三角形的周长
需要证明“其他任意三角形都比‘你所述的’三角形”短才行。
不过你是第一个认真回答的，赞一个