Question

已知定义在r上的增函数f(x),满足f(-x)+f(x)=0，

x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（ ）
A,一定大于零， B,一定小于零
C,等于零 D,正负都有可能

请写明步骤，若ok,会提高悬赏。

Answer 1

因为x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，
所以x1>-x2，x2>-x3，x3>-x1，
又f(x)是R上的增函数，所以f(x1)>f(-x2)，f(x2)>f(-x3)，f(x3)>f(-x1)，
因为f(-x)+f(x)=0，所以f(-x)=-f(x)，所以f(-x2)=-f(x2)，f(-x3)=-f(x3)，f(-x1)=-f(x1)。
所以f(x1)>-f(x2)，f(x2)>-f(x3)，f(x3)>-f(x1)，
即f(x1)+f(x2)>0，f(x2)+f(x3)>0，f(x3)+f(x1)>0，
三个式子相加，得2[f(x1)+f(x2)+f(x3)]>0
两边都除以2，得f(x1)+f(x2)+f(x3)>0。所以答案选A。

Answer 2

f是奇函数。
而且f递增，所以f（0）=0而且f在(0，正无限)上是正的，在负无限到0上是负的。
对于选择题，可以构造一个这样的函数比如f=x^3，这样可以大大简化过程。
另一个方法就是分析了，因为x1+x2>0，而f是增函数，所以f(-x1+(x1+x2))>f(-x1)=-f(x1)得到f(x2)>-f(x1)移项得到f(x1)+f(x2)>0
同理得到f(x1)+f(x3)>0和f(x2)+f(x3)>0，三个式子相加除以2即得答案。所以一定大于0选择A